多元函数的临界点是指该函数的一阶偏导数都等于零的点。本文给出了关于如何求二元函数临界点的示例及详细解答。
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在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
带有详细解答的例题
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例题 1
求由下式定义的函数 \( f \) 的临界点：
\[ f(x, y) = x^2 + y^2 \]显示例题 1 的解答
我们首先求一阶偏导数：
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = 2y \]现在我们同时求解方程 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)：
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ 2y = 0 \implies y = 0 \]上述方程组的解是有序对 \( (0, 0) \)。
下面是 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) 的图像，表明在临界点 \( (0, 0) \) 处，\( f \) 具有最小值。
例题 2
求由下式定义的函数 \( f \) 的临界点：
\[ f(x, y) = x^2 - y^2 \]显示例题 2 的解答
求函数 \( f \) 的一阶偏导数：
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]同时求解方程 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)：
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]解是有序对 \( (0, 0) \)。
\( f(x, y) = x^2 - y^2 \) 的图像如下所示。曲面在 \( y \) 方向向下弯曲，在 \( x \) 方向向上弯曲。\( f \) 在 \( (0, 0) \) 处是平稳的，但不存在极值（最大值或最小值）。\( (0, 0) \) 被称为鞍点，因为靠近 \( (0, 0) \) 的曲面类似于马鞍。
例题 3
求由下式定义的函数 \( f \) 的临界点：
\[ f(x, y) = -x^2 - y^2 \]显示例题 3 的解答
我们首先求一阶偏导数：
\[ f_x(x, y) = -2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]现在同时求解 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)：
\[ -2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]解是有序对 \( (0, 0) \)。
\( f(x, y) = -x^2 - y^2 \) 的图像如下所示，展示了相对最大值。
例题 4
求由下式定义的函数 \( f \) 的临界点：
\[ f(x, y) = x^3 + 3x^2 - 9x + y^3 - 12y \]显示例题 4 的解答
一阶偏导数由下式给出：
\[ f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 \] \[ f_y(x, y) = 3y^2 - 12 \]现在同时求解方程 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)：
\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \implies 3(x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ 或 } x = 1 \] \[ 3y^2 - 12 = 0 \implies 3(y^2 - 4) = 0 \implies y = -2 \text{ 或 } y = 2 \]结合 \( x \) 和 \( y \) 的所有可能组合，临界点为：
\[ (1, 2), \; (1, -2), \; (-3, 2), \; (-3, -2) \]练习题
求下列函数的临界点（如果有的话）。点击每个练习以检查答案。
练习 1
\( f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3 \)
显示答案
练习 2
\( f(x, y) = e^{-x^2 - y^2 + 2x - 2y - 2} \)
显示答案
练习 3
\( f(x, y) = \dfrac{1}{2}x^2 + y^3 - 3xy - 4x + 2 \)
显示答案
练习 4
\( f(x, y) = x^3 + y^3 + 2x + 6y \)