偏导数的定义
设 \( f(x, y) \) 是一个二元函数。如果我们保持 \( y \) 不变，并使用标准的微分规则和公式对 \( f \)（假设 \( f \) 可微）关于变量 \( x \) 求导，我们就得到了 \( f \) 关于 \( x \) 的偏导数，记作：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \quad \text{或} \quad f_x \]类似地，如果我们保持 \( x \) 不变，对 \( f \) 关于变量 \( y \) 求导，我们就得到了 \( f \) 关于 \( y \) 的偏导数，记作：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} \quad \text{或} \quad f_y \]我们也可以使用极限来定义偏导数，如下所示：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \]以及
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} \]带有详细解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1
如果 \( f(x, y) \) 由下式给出，求偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f(x, y) = x^2 y + 2x + y \]显示例题 1 的解答
假设 \( y \) 为常数，并对 \( x \) 求导：
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial x}(y) = 2xy + 2 + 0 = 2xy + 2 \end{aligned} \]假设 \( x \) 为常数，并对 \( y \) 求导：
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1 \end{aligned} \]例题 2
如果 \( f(x, y) \) 由下式给出，求偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f(x, y) = \sin(xy) + \cos(x) \]显示例题 2 的解答
假设 \( y \) 为常数，对 \( x \) 求导（对 \(\sin(xy)\) 使用链式法则）：
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x)) = y \cos(xy) - \sin(x) \end{aligned} \]假设 \( x \) 为常数，对 \( y \) 求导：
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x)) = x \cos(xy) - 0 = x \cos(xy) \end{aligned} \]例题 3
如果 \( f(x, y) \) 由下式给出，求 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f(x, y) = x e^{xy} \]显示例题 3 的解答
假设 \( y \) 为常数，使用乘积法则对 \( x \) 求导：
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot e^{xy} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = 1 \cdot e^{xy} + x \cdot y e^{xy} = (1 + xy) e^{xy} \end{aligned} \]假设 \( x \) 为常数，对 \( y \) 求导：
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{xy}) \\ &= x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = x \cdot x e^{xy} = x^2 e^{xy} \end{aligned} \]例题 4
如果 \( f(x, y) \) 由下式给出，求 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f(x, y) = \ln(x^2 + 2y) \]显示例题 4 的解答
对 \( x \) 求导：
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2x}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]对 \( y \) 求导：
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]例题 5
如果 \( f(x, y) \) 由下式给出，求 \( f_x(2, 3) \) 和 \( f_y(2, 3) \)：
\[ f(x, y) = y x^2 + 2y \]显示例题 5 的解答
我们首先求偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f_x(x, y) = 2xy \] \[ f_y(x, y) = x^2 + 2 \]代入 \( x = 2 \) 和 \( y = 3 \)：
\[ f_x(2, 3) = 2(2)(3) = 12 \] \[ f_y(2, 3) = 2^2 + 2 = 6 \]练习题
求下列函数的偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)。点击每个练习以检查答案。
练习 1
\( f(x, y) = x e^{x + y} \)
显示答案
练习 2
\( f(x, y) = \ln(2x + yx) \)
显示答案
练习 2 注记
注：根据对数性质，\( \ln(2x + yx) = \ln(x(2 + y)) = \ln(x) + \ln(2 + y) \)，这使得求偏导数变得非常简单。
练习 3
\( f(x, y) = x \sin(x - y) \)