本节给出了几个优化问题及其详细解答。这些问题涉及使用一阶和二阶偏导数来优化二元函数。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
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问题 1
你决定建造一个长方体形状的盒子，其体积为 1000 立方厘米。求出盒子的尺寸 \( x \)、\( y \) 和 \( z \)，使得所有 6 个面的总表面积最小。
显示问题 1 的解答
长方体六个面的总表面积 \( A \) 由下式给出：
\[ A = 2xy + 2yz + 2zx \]
已知盒子的体积为 1000：
\[ xyz = 1000 \implies z = \frac{1000}{xy} \]将 \( z \) 代入表面积公式中，将 \( A \) 表示为两个变量 \( x \) 和 \( y \) 的函数：
\[ A(x,y) = 2xy + 2y\left(\frac{1000}{xy}\right) + 2x\left(\frac{1000}{xy}\right) = 2xy + \frac{2000}{x} + \frac{2000}{y} \]为了求临界点，计算一阶偏导数并将其设为零：
\[ A_x(x,y) = 2y - \frac{2000}{x^2} = 0 \] \[ A_y(x,y) = 2x - \frac{2000}{y^2} = 0 \]求解该方程组可得正的物理实际解：
\[ x = 10, \quad y = 10 \]接下来，求二阶偏导数：
\[ A_{xx}(x,y) = \frac{4000}{x^3}, \quad A_{yy}(x,y) = \frac{4000}{y^3}, \quad A_{xy}(x,y) = 2 \]在 \( (10, 10) \) 处计算 \( D = A_{xx}A_{yy} - A_{xy}^2 \)：
\[ D = \left(\frac{4000}{1000}\right)\left(\frac{4000}{1000}\right) - (2)^2 = (4)(4) - 4 = 12 \]由于 \( D = 12 > 0 \) 且 \( A_{xx}(10,10) = 4 > 0 \)，面积 \( A \) 在以下条件下取得最小值：
\[ x = 10 \, \text{cm}, \quad y = 10 \, \text{cm}, \quad z = \frac{1000}{(10)(10)} = 10 \, \text{cm} \]问题 2
使用 12 平方米的硬纸板，做一个具有 6 个面的长方体形状的盒子，求出使其体积尽可能大的尺寸。
显示问题 2 的解答
使用所有可用的硬纸板，总表面积 \( A \) 固定为 12：
\[ A = 2xy + 2yz + 2zx = 12 \]
要最大化的体积 \( V \) 为：
\[ V = xyz \]从表面积方程中解出 \( z \)：
\[ z = \frac{6 - xy}{x + y} \]将 \( z \) 代入体积公式中：
\[ V(x,y) = \frac{xy(6 - xy)}{x + y} = \frac{6xy - x^2y^2}{x + y} \]求一阶偏导数：
\[ V_x(x,y) = -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \] \[ V_y(x,y) = -x^2 \frac{y^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \]令 \( V_x = 0 \) 且 \( V_y = 0 \) 得到内部临界方程：
\[ x^2 + 2xy - 6 = 0, \quad y^2 + 2xy - 6 = 0 \]两式相减得到 \( x^2 - y^2 = 0 \implies x = y \)（因为尺寸必须为正）。将 \( x = y \) 代入 \( x^2 + 2x^2 - 6 = 0 \)：
\[ 3x^2 = 6 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}, \; y = \sqrt{2} \]因此，临界点为 \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)。
计算二阶偏导数：
对 \( V_x \) 和 \( V_y \) 应用商法则，我们求出二阶偏导数：
\[ V_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2y^2 \frac{y^2 + 6}{(x + y)^3} \] \[ V_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left[ -x^2 \frac{y^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2x^2 \frac{x^2 + 6}{(x + y)^3} \] \[ V_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2xy \frac{x^2 + 3xy + y^2 - 6}{(x + y)^3} \]在临界点 \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) 处代入计算：
- \( V_{xx}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -2(\sqrt{2})^2 \frac{(\sqrt{2})^2 + 6}{(\sqrt{2} + \sqrt{2})^3} = -2(2)\frac{2 + 6}{(2\sqrt{2})^3} = -4\frac{8}{16\sqrt{2}} = -\frac{32}{16\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \)
- 由对称性，\( V_{yy}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -\sqrt{2} \)
- \( V_{xy}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -2(\sqrt{2})(\sqrt{2}) \frac{(\sqrt{2})^2 + 3(\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 - 6}{(2\sqrt{2})^3} = -4\frac{2 + 6 + 2 - 6}{16\sqrt{2}} = -4\frac{4}{16\sqrt{2}} = -\frac{16}{16\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
应用二阶导数测试：
在 \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) 处计算判别式 \( D = V_{xx}V_{yy} - V_{xy}^2 \)：
\[ D = \left(-\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 - \frac{2}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]由于 \( D = \dfrac{3}{2} > 0 \) 且 \( V_{xx}(\sqrt{2},\sqrt{2}) = -\sqrt{2} < 0 \)，体积在以下条件下取得最大值：
\[ x = \sqrt{2} \, \text{米}, \quad y = \sqrt{2} \, \text{米}, \quad z = \frac{6 - (\sqrt{2})(\sqrt{2})}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, \text{米} \]问题 3
求点 \( (1, 2, -1) \) 到由方程 \( x - y + z = 3 \) 给出的平面的距离。
显示问题 3 的解答
要找点到平面的距离，我们可以极小化点 \( (1, 2, -1) \) 与平面上任意点 \( (x, y, z) \) 之间距离的平方：
\[ f(x,y,z) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 \]从平面方程 \( x - y + z = 3 \) 中解出 \( z \)：
\[ z = 3 - x + y \]将 \( z \) 代入 \( f \) 中，将其表示为 \( x \) 和 \( y \) 的函数：
\[ F(x,y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (-x + y + 4)^2 \]求一阶偏导数：
\[ F_x(x,y) = 2(x - 1) + 2(-1)(-x + y + 4) = 4x - 2y - 10 \] \[ F_y(x,y) = 2(y - 2) + 2(1)(-x + y + 4) = -2x + 4y + 4 \]将偏导数设为零并求解该方程组，得到临界点：
\[ \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}\right) \]平面上对应的 \( z \) 坐标为：
\[ z = 3 - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]通过二阶导数测试得到 \( D = (4)(4) - (-2)^2 = 12 > 0 \) 且 \( F_{xx} = 4 > 0 \)，确认在 \( \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \) 处存在极小值。
最短距离 \( d \) 为：
\[ d = \sqrt{\left(1 - \frac{8}{3}\right)^2 + \left(2 - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(-1 - \frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{25}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{\sqrt{3}} \]