确定二元函数的相对极大值、极小值和鞍点。本节提供了几个带有详细解答的示例，并展示了函数的三维图形以确认这些点的存在。本网站还提供更多关于二元函数优化问题的内容。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
定理：二元函数的二阶导数测试
设 \( f \) 是一个二元函数，在临界点 \( (a, b) \) 处具有连续的二阶偏导数 \( f_{xx} \)、\( f_{yy} \) 和 \( f_{xy} \)。设：
\[ D = f_{xx}(a, b) f_{yy}(a, b) - f_{xy}^2(a, b) \]- a) 如果 \( D > 0 \) 且 \( f_{xx}(a, b) > 0 \)，则 \( f \) 在点 \( (a, b) \) 处具有相对极小值。
- b) 如果 \( D > 0 \) 且 \( f_{xx}(a, b) < 0 \)，则 \( f \) 在点 \( (a, b) \) 处具有相对极大值。
- c) 如果 \( D < 0 \)，则 \( f \) 在点 \( (a, b) \) 处具有鞍点。
- d) 如果 \( D = 0 \)，则无法得出结论。
带有详细解答的例题
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1
确定由下式定义的函数 \( f \) 的临界点，并找出任何相对极小值、极大值和鞍点：
\[ f(x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]显示例题 1 的解答
求一阶偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f_x(x, y) = 4x + 2y - 6 \] \[ f_y(x, y) = 2x + 4y \]临界点同时满足方程 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)：
\[ 4x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2x + 4y = 0 \implies x = -2y \]将 \( x = -2y \) 代入第一个方程：
\[ 4(-2y) + 2y - 6 = 0 \implies -6y = 6 \implies y = -1 \]然后 \( x = -2(-1) = 2 \)。该系统有一个临界点 \( (2, -1) \)。
求二阶偏导数：
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 4, \quad f_{xy}(x, y) = 2 \]在 \( (2, -1) \) 处计算 \( D \)：
\[ D = f_{xx}(2, -1) f_{yy}(2, -1) - f_{xy}^2(2, -1) = (4)(4) - 2^2 = 16 - 4 = 12 \]由于 \( D = 12 > 0 \) 且 \( f_{xx}(2, -1) = 4 > 0 \)，函数 \( f \) 在 \( (2, -1) \) 处具有局部极小值。
3D 图形确认了在 \( (2, -1, f(2, -1)) = (2, -1, -6) \) 处存在局部极小值。
例题 2
确定由下式定义的函数 \( f \) 的临界点，并找出任何相对极小值、极大值和鞍点：
\[ f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^4 + 2 \]显示例题 2 的解答
求一阶偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f_x(x, y) = 4x - 4y \] \[ f_y(x, y) = -4x + 4y^3 \]同时求解 \( f_x(x, y) = 0 \) 和 \( f_y(x, y) = 0 \)：
\[ 4x - 4y = 0 \implies x = y \]将 \( x = y \) 代入 \( -4x + 4y^3 = 0 \) 中：
\[ -4y + 4y^3 = 0 \implies 4y(y^2 - 1) = 0 \implies y = 0, \; y = 1, \; y = -1 \]使用 \( x = y \)，临界点为：
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]求二阶偏导数：
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = -4 \]在每个临界点处计算 \( D \) 和 \( f_{xx} \)：
| 临界点 \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | -4 | -4 | -4 |
| \( D \) | -16 | 32 | 32 |
| 结论 | 鞍点 | 相对极小值 | 相对极小值 |
例题 3
确定由下式定义的函数 \( f \) 的临界点，并找出任何相对极小值、极大值和鞍点：
\[ f(x, y) = -x^4 - y^4 + 4xy \]显示例题 3 的解答
求一阶偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f_x(x, y) = -4x^3 + 4y \] \[ f_y(x, y) = -4y^3 + 4x \]求解 \( f_x = 0 \) 和 \( f_y = 0 \)：
\[ -4x^3 + 4y = 0 \implies y = x^3 \]将 \( y = x^3 \) 代入第二个方程：
\[ -4(x^3)^3 + 4x = 0 \implies -4x^9 + 4x = 0 \implies -4x(x^8 - 1) = 0 \implies x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \]\( x \) 的实数解为 \( x = 0, 1, -1 \)。使用 \( y = x^3 \)，临界点为：
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]二阶偏导数：
\[ f_{xx}(x, y) = -12x^2, \quad f_{yy}(x, y) = -12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = 4 \]| 临界点 \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( D \) | -16 | 128 | 128 |
| 结论 | 鞍点 | 相对极大值 | 相对极大值 |
练习题
确定下列函数的临界点，并判断每个点对应于相对极小值、极大值还是鞍点。点击每个练习以检查答案。
练习 1
\( f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 2xy - 8x \)
显示答案
临界点在 \( (6, 2) \) 处。由于 \( f_{xx} = 2 > 0 \) 且 \( D = 2(6) - (-2)^2 = 8 > 0 \)，在 \( (6, 2) \) 处存在相对极小值。
练习 2
\( f(x, y) = x^3 - 12x + y^3 + 3y^2 - 9y \)
显示答案
临界点为 \( (2, 1), (2, -3), (-2, 1), (-2, -3) \)：
- 在 \( (2, 1) \) 处有相对极小值（\( D = 144 > 0, f_{xx} = 12 > 0 \)）
- 在 \( (-2, -3) \) 处有相对极大值（\( D = 144 > 0, f_{xx} = -12 < 0 \)）
- 在 \( (2, -3) \) 和 \( (-2, 1) \) 处有鞍点（\( D = -144 < 0 \)）