多元链式法则简介
当处理一个多元函数，且其内部变量本身是一个或多个独立参数的函数时，多元链式法则允许我们计算复合函数关于这些参数的导数。
单一独立参数
给定函数 \( f(x, y, z) \)，其中 \( x \)、\( y \) 和 \( z \) 都是单一变量 \( t \) 的函数，\( f \) 关于 \( t \) 的全导数通过将 \( f \) 的偏导数与内部变量的标准导数的乘积相加来计算：
\[ \dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]多个独立参数（扩展链式法则）
如果函数 \( f(x, y) \) 的内部变量 \( x \) 和 \( y \) 是多个参数（例如 \( t \) 和 \( r \)）的函数，我们使用扩展链式法则来求 \( f \) 关于每个参数的偏导数：
\[ \dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \]使用多元链式法则的例题
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例题 1
\( U \) 是关于 \( x \)、\( y \) 和 \( z \) 的函数，由下式给出：
\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]\( x \)、\( y \) 和 \( z \) 是 \( t \) 的函数：
\[ x = 2t^2 + t, \quad y = 2 + \ln(t), \quad z = t - 2 \]求 \(\dfrac{dU}{dt}\)。
显示例题 1 的解答
我们首先建立多元链式法则来求 \(\dfrac{dU}{dt}\)：
\[ \dfrac{dU}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]接下来我们计算上述公式中的每一项（注意：\(-z^{-1}\) 的导数是 \(+z^{-2}\)）：
\[ \dfrac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial z} = \frac{1}{z^2} \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 4t + 1, \quad \dfrac{dy}{dt} = \frac{1}{t}, \quad \dfrac{dz}{dt} = 1 \]将这些代入链式法则公式中：
\[ \dfrac{dU}{dt} = \left(y e^{xy}\right) (4t + 1) + \left(x e^{xy}\right) \left(\frac{1}{t}\right) + \left(\frac{1}{z^2}\right) (1) \]提取公因式 \(e^{xy}\)，并将 \(x, y,\) 和 \(z\) 替换为它们关于 \(t\) 的函数：
\[ = \left(4ty + y + \frac{x}{t}\right)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]展开括号内的各项以求出最终结果：
\[ = (4t\ln(t) + \ln(t) + 10t + 3)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]例题 2
\( W \) 是关于 \( x \) 和 \( y \) 的函数，由下式给出：
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]\( x \) 和 \( y \) 是关于 \( r \) 和 \( \theta \) 的函数，由下式给出：
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]求 \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\) 和 \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\)，其中 \( r \ge 0 \) 且 \( 0 \le \theta \le 2\pi \)。
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我们使用扩展多元链式法则来求这两个偏导数：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \]计算所有各个分量：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]代入并化简以求出 \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\)：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) \]由于 \(x = r \cos(\theta)\)、\(y = r \sin(\theta)\) 且 \(\sqrt{x^2+y^2} = r\)，上式变为：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{r \cos(\theta)}{r} \cos(\theta) + \frac{r \sin(\theta)}{r} \sin(\theta) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \]代入并化简以求出 \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\)：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (-r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{r \cos(\theta)}{r} (-r \sin(\theta)) + \frac{r \sin(\theta)}{r} (r \cos(\theta)) = -r\cos(\theta)\sin(\theta) + r\cos(\theta)\sin(\theta) = 0 \]注：如果首先将 \(x\) 和 \(y\) 直接代入 \(W\) 中，以上所有步骤都可以更快地完成：
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \]这可以很容易地得出 \(\dfrac{\partial W}{\partial r} = 1\) 和 \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta} = 0\)。这个例子用于验证链式法则与直接代入法的结果相符。
例题 3
\( W \) 是关于 \( x \) 和 \( y \) 的函数，由下式给出：
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]\( x \) 和 \( y \) 是关于 \( u \) 和 \( v \) 的函数，由下式给出：
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]求 \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\) 和 \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\)。
显示例题 3 的解答
关于 \(u\) 和 \(v\) 的扩展多元链式法则为：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v} \]计算所需的偏导数：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2u \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial y}{\partial u} = 1 \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1 \]代入各项以求出 \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\)：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]代入各项以求出 \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\)：
\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]例题 4
尺寸为 \( L \)、\( W \) 和 \( H \) 的长方体的体积由下式给出：
\[ V = LWH \]求当长度 \( L = 50\text{ cm} \) 且正以 \( 0.2\text{ cm/s} \) 的速度增加、宽度 \( W = 40\text{ cm} \) 且正以 \( 0.1\text{ cm/s} \) 的速度增加、高度 \( H = 30\text{ cm} \) 且正以 \( 0.1\text{ cm/s} \) 的速度减小时，体积 \( V \) 变化的速度（单位：\(\text{cm}^3/\text{s}\)）。
显示例题 4 的解答
尺寸 \( L \)、\( W \) 和 \( H \) 随时间 \( t \) 变化，因此体积 \( V \) 也随时间变化。使用链式法则来求 \(\dfrac{dV}{dt}\)：
\[ \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\partial V}{\partial L}\dfrac{dL}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial W}\dfrac{dW}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial H}\dfrac{dH}{dt} \]计算偏导数并确定变化率：
\[ \dfrac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \dfrac{dL}{dt} = 0.2 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \dfrac{dW}{dt} = 0.1 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \dfrac{dH}{dt} = -0.1 \]使用给定的瞬时值（\(L=50, W=40, H=30\)）计算 \(\dfrac{dV}{dt}\)：
\[ \dfrac{dV}{dt} = (40)(30)(0.2) + (50)(30)(0.1) + (50)(40)(-0.1) \] \[ \dfrac{dV}{dt} = 240 + 150 - 200 = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]例题 5
两个并联电阻（电阻分别为 \( R_1 \) 和 \( R_2 \)）的等效电阻 \( R \) 由下式给出：
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]电阻 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 随温度 \( T \) 变化，遵循以下公式：
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]其中 \( R_{10} \)、\( R_{20} \)、\( \alpha \)、\( \beta \) 和 \( T_0 \) 是常数。求变化率 \(\dfrac{dR}{dT}\)。
显示例题 5 的解答
\(\dfrac{dR}{dT}\) 由链式法则给出如下：
\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{\partial R}{\partial R_1}\dfrac{dR_1}{dT} + \dfrac{\partial R}{\partial R_2}\dfrac{dR_2}{dT} \]使用商法则计算 \(R\) 的偏导数，然后求 \(R_1\) 和 \(R_2\) 关于 \(T\) 的导数：
\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \] \[ \dfrac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]将这些项代回链式法则方程中：
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{10} \alpha) + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{20} \beta) \]合并为一个单一的分数：
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]