多元函数是具有多个独立变量的函数。拥有一个以上变量的函数对于从数学上对复杂的物理现象、工程、化学、农业和经济系统进行建模至关重要。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
多元函数示例
探索不同的几何和物理量如何依赖于多个变量。
例题 1：矩形的面积
一个矩形的宽度为 \( W \)，长度为 \( L \)。该矩形的面积 \( A \) 由下式给出：
\[ A = W \cdot L \]很明显，如果 \( W \) 和 \( L \) 发生变化，面积 \( A \) 取决于两个变量：宽度 \( W \) 和长度 \( L \)。因此，称 \( A \) 是两个变量的函数，写作 \( A(W, L) \)。
例题 2：长方体的体积
一个长方体具有宽度 \( W \)、长度 \( L \) 和高度 \( H \)。该长方体的体积 \( V \) 由下式给出：
\[ V = W \cdot L \cdot H \]如果 \( W \)、\( L \) 和 \( H \) 发生变化，体积 \( V \) 取决于 3 个变量：宽度 \( W \)、长度 \( L \) 和高度 \( H \)，这使其成为三个变量的函数 \( V(W, L, H) \)。
例题 3：圆柱体的体积
半径为 \( r \)、高度为 \( h \) 的圆柱体的体积 \( V \) 由下式给出：
\[ V = \pi r^2 h \]如果 \( r \) 和 \( h \) 发生变化，我们可以说体积 \( V \) 是两个变量 \( r \) 和 \( h \) 的函数，记作 \( V(r, h) \)。
例题 4：随空间和时间变化的房间温度
设 \( T \) 为房间里的温度。使用由轴 \( (x, y, z) \) 组成的直角坐标系，温度 \( T \) 可以随空间位置 \( (x, y, z) \) 和时间 \( t \) 改变。它可以表示为：
\[ T(x, y, z, t) \]这代表一个包含 4 个变量（三个空间坐标和一个时间坐标）的函数。