三角恒等式与单位圆

利用对称性推导性质与证明

如何利用单位圆来寻找正弦和余弦函数的性质与三角恒等式？

圆具有无数种对称性。在这里，我们特别关注关于 x 轴、y 轴、原点 以及直线 \( y = x \) 的对称性。利用这些几何对称性，我们可以直观地推导并写出三角学中的几个基础恒等式。

源于原点、x 轴和 y 轴对称性的恒等式

四个角 \( \theta \)、\( \pi - \theta \)、\( \pi + \theta \) 和 \( 2\pi - \theta \) 如下所示显示在单位圆上。每个角对应圆上的一个点（\( A, B, C \) 或 \( D \)）。

Symmetry in the unit circle showing a rectangle formed by 4 points

这四个角具有相同的参考角，等于 \( \theta \)。由于单位圆的对称性，这四个点形成了一个矩形 \( ABCD \)。给定点 \( A \) 的坐标 \( (a, b) \)，我们可以通过反射求出其他点的坐标：

推导出的恒等式

由点 A 和点 B（y 轴对称）：

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]

由点 A 和点 C（原点对称）：

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

由点 A 和点 D（x 轴对称）：

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \]

负角（x 轴对称）

下面展示了两个角 \( \theta \) 和 \( -\theta \)，分别对应点 \( A \) 和 \( D \)。

Symmetry in unit circle showing positive and negative angles

点 \( A \) 和 \( D \) 关于 x 轴互为反射点。如前所述，它们的坐标分别为 \( A(a,b) \) 和 \( D(a,-b) \)。这得出了“奇偶性”三角恒等式：

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]

源于关于直线 \( y = x \) 对称的恒等式

下面显示的点 \( A \) 和 \( B \) 关于对角线 \( y = x \) 互为反射点。由于这种对称性，对应的角分别为 \( \theta \) 和 \( \dfrac{\pi}{2} - \theta \)。

Symmetry in unit circle with respect to the line y = x

关于 \( y = x \) 进行反射会交换 x 和 y 坐标。如果 \( A \) 是 \( (a, b) \)，那么 \( B \) 就是 \( (b, a) \)。

余角恒等式

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \]

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \]

三角恒等式的代数验证

我们可以使用标准的和差角公式，代数证明我们刚刚发现的所有视觉对称性：

1. 验证：\( \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta \]

利用 \( \cos\pi = -1 \) 且 \( \sin\pi = 0 \)：

\[ = (-1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

2. 验证：\( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \)

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta \]

利用 \( \sin\pi = 0 \) 且 \( \cos\pi = -1 \)：

\[ = (0)\cos\theta - (-1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

3. 验证：\( \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi + \theta) = \cos\pi \cos\theta - \sin\pi \sin\theta \]

\[ = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

4. 验证：\( \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(\pi + \theta) = \sin\pi \cos\theta + \cos\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

5. 验证：\( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \)

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos\theta + \sin 2\pi \sin\theta \]

利用 \( \cos 2\pi = 1 \) 且 \( \sin 2\pi = 0 \)：

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

6. 验证：\( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos\theta - \cos 2\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

7. 验证：\( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

改写为 \( \cos(0 - \theta) \)：

\[ \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos\theta + \sin 0 \sin\theta \]

利用 \( \cos 0 = 1 \) 且 \( \sin 0 = 0 \)：

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

8. 验证：\( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

改写为 \( \sin(0 - \theta) \)：

\[ \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos\theta - \cos 0 \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

9. 验证：\( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

利用 \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) 且 \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \)：

\[ = (0)\cos\theta + (1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

10. 验证：\( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \)

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

\[ = (1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

挑战题

应用您对对称性、恒等式和和差角公式的理解来解决以下挑战问题。

挑战 1（正切对称性）：利用上面推导出的正弦和余弦对称性，证明正切函数的周期为 \( \pi \)。也就是证明 \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \)。

查看证明

第一步：使用商数恒等式将正切改写为正弦和余弦的形式。

\[ \tan(\pi + \theta) = \dfrac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} \]

第二步：代入原点反射的对称性（第三象限）。

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

第三步：化简分数。

\[ \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\tan\theta} \]

挑战 2（应用对称性）：在不使用计算器的情况下，求以下表达式的精确值：\[ \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \]

查看解答

第一步：化简正弦项。
通过减去 \( 2\pi \)（\( \dfrac{8\pi}{4} \)）来寻找 \( \dfrac{13\pi}{4} \) 的同终边角。
\( \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \)。
该角位于第三象限，与 \( \dfrac{\pi}{4} \) 相关。因此，\( \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)。

第二步：化简余弦项。
使用偶函数恒等式：\( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \)。
\( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \)。
该角位于第二象限，与 \( \dfrac{\pi}{6} \) 相关。因此，\( \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)。

第三步：将值相乘。

\[ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]

挑战 3（进阶余角/反向边界）：使用和差角公式验证关于负 y 轴反射（第三/第四象限边界）的恒等式：\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta \]

查看证明

第一步：使用余弦差角公式展开：\( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)。

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \cos\theta + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \sin\theta \]

第二步：计算在 \( \dfrac{3\pi}{2} \)（270 度）时的三角函数值。

我们知道在单位圆底部，坐标为 \( (0, -1) \)。所以，\( \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \) 且 \( \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1 \)。

第三步：代入并化简。

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

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