线性代数中的子空间 - 示例与解答

证明由 \( (x,0) \)（其中 \( x \in \mathbb{R} \)）形式的向量构成的集合 \( W \) 是 \( \mathbb{R}^2 \) 的子空间。

---

解答

我们检验子空间标准：

• \( W \) 是 \( \mathbb{R}^2 \) 的非空子集，其向量的一般形式为 \( (x,y) \)，其中 \( x, y \in \mathbb{R} \)。
• 零向量 \( (0,0) \) 在 \( W \) 中（令 \( x = 0 \) 得到 \( (0,0) \)）。
• 加法封闭性： 设 \( \mathbf{u} = (x_1, 0) \) 和 \( \mathbf{v} = (x_2, 0) \) 在 \( W \) 中。则： \[ (x_1, 0) + (x_2, 0) = (x_1 + x_2, 0) \] 因为 \( x_1 + x_2 \) 是实数，和在 \( W \) 中。
• 标量乘法封闭性： 设 \( \mathbf{u} = (x, 0) \) 在 \( W \) 中，\( r \) 是标量。则： \[ r \cdot (x, 0) = (rx, 0) \] 因为 \( rx \) 是实数，乘积在 \( W \) 中。

因此，\( W \) 是 \( \mathbb{R}^2 \) 的子空间。几何上，\( W \) 是 \( x \) 轴。

证明由 \( (x,y) \) 形式且满足 \( x \ge 0 \) 和 \( y \ge 0 \) 的向量构成的集合 \( W \) 不是 \( \mathbb{R}^2 \) 的子空间。

---

解答

要证明 \( W \) 不是子空间，我们可以找到一个反例，证明它至少不满足一个条件（在此情况下是标量乘法封闭性）。

• 考虑向量 \( \mathbf{u} = (2,2) \)。两个分量均非负，所以 \( \mathbf{u} \in W \)。
• 现在将 \( \mathbf{u} \) 乘以标量 \( r = -1 \)： \[ -1 \cdot (2,2) = (-2, -2) \]
• 所得向量 \( (-2, -2) \) 的分量为负，意味着它不在 \( W \) 中。

因为 \( W \) 对标量乘法不封闭，所以它不是 \( \mathbb{R}^2 \) 的子空间。几何上，\( W \) 是第一象限，对负数的标量乘法不封闭。

证明集合 \( W = \{ (x,y,z) \mid x + y + z = 0 \} \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 的子空间。

---

解答

我们验证 \( W \) 的子空间要求：

• \( W \) 是 \( \mathbb{R}^3 = \{ (x,y,z) \mid x, y, z \in \mathbb{R} \} \) 的非空子集。
• 零向量检验： 零向量 \( (0,0,0) \) 在 \( W \) 中，因为 \( 0 + 0 + 0 = 0 \)。
• 加法封闭性： 设 \( \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) \) 和 \( \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2) \) 是 \( W \) 中的向量。根据定义，\( x_1 + y_1 + z_1 = 0 \) 且 \( x_2 + y_2 + z_2 = 0 \)。 \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \] 检验和向量的方程： \[ (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0 \] 因此，\( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \)。
• 标量乘法封闭性： 设 \( \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) \) 在 \( W \) 中（所以 \( x_1 + y_1 + z_1 = 0 \)），\( r \) 是实数。 \[ r \cdot (x_1, y_1, z_1) = (rx_1, ry_1, rz_1) \] 检验缩放向量的方程： \[ rx_1 + ry_1 + rz_1 = r(x_1 + y_1 + z_1) = r \cdot 0 = 0 \] 因此，\( r\mathbf{u} \in W \)。

由于满足所有条件，\( W \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 的子空间。几何上，\( W \) 是过原点且法向量为 \( (1,1,1) \) 的平面。

证明集合 \( W = \{ t(1, 2, 3) \mid t \in \mathbb{R} \} \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 的子空间。

---

解答

我们验证 \( W \) 的子空间要求：

• 零向量检验： 令 \( t = 0 \) 得到 \( (0, 0, 0) \in W \)。
• 加法封闭性： 设 \( \mathbf{u} = t_1(1,2,3) \) 和 \( \mathbf{v} = t_2(1,2,3) \) 在 \( W \) 中。则： \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = t_1(1,2,3) + t_2(1,2,3) = (t_1 + t_2)(1,2,3) \] 因为 \( t_1 + t_2 \) 是实数，和在 \( W \) 中。
• 标量乘法封闭性： 设 \( \mathbf{u} = t(1,2,3) \) 在 \( W \) 中，\( r \) 是实数。则： \[ r \cdot \mathbf{u} = r \cdot t(1,2,3) = (rt)(1,2,3) \] 因为 \( rt \) 是实数，乘积在 \( W \) 中。

由于满足所有条件，\( W \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 的子空间。几何上，\( W \) 是沿 \( (1,2,3) \) 方向过原点的直线。

证明集合 \( W = \{ (x,y,z) \mid x + y + z = 1 \} \) 不是 \( \mathbb{R}^3 \) 的子空间。

---

解答

我们首先检验零向量条件：

• 考虑零向量 \( (0,0,0) \)。代入定义方程：\( 0 + 0 + 0 = 0 \neq 1 \)。
• 因此，零向量 \( (0,0,0) \) 不在 \( W \) 中。

因为 \( W \) 不满足零向量条件，所以它不是 \( \mathbb{R}^3 \) 的子空间。几何上，\( W \) 是一个不过原点的平面。

额外的反例（加法封闭性）： 设 \( \mathbf{u} = (1,0,0) \) 和 \( \mathbf{v} = (0,1,0) \)。两者都满足 \( x + y + z = 1 \)，所以都在 \( W \) 中。但 \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = (1,1,0) \)，且 \( 1 + 1 + 0 = 2 \neq 1 \)，所以和不在 \( W \) 中。