线性代数中向量的张成空间
在线性代数中，一组向量的张成空间是这些向量所能创建的所有可能线性组合的集合。本指南探讨向量张成空间的定义，并演示如何判断一组向量是否张成给定的向量空间。
目录
向量张成的空间
如果向量 \( \textbf{u}_1, \textbf{u}_2, \dots, \textbf{u}_n \) 在向量空间 \( V \) 中，则这些向量的所有线性组合的集合 \( W \) 是 \( V \) 的一个子空间，称为 \( \textbf{u}_1, \textbf{u}_2, \dots, \textbf{u}_n \) 的张成空间。
我们也说这些向量张成 \( W \)，记为：
\[ W = \text{span}\{\textbf{u}_1, \textbf{u}_2, \dots, \textbf{u}_n\} \]张成空间的性质
一组向量的张成空间具有几个重要性质：
- 始终是子空间： 任何向量组的张成空间始终是环境向量空间的子空间。
- 包含零向量： 零向量始终在张成空间中（令所有标量为零）。
- 包含这些向量的最小子空间： \( \text{span}\{\textbf{u}_1, \dots, \textbf{u}_n\} \) 是包含所有向量 \( \textbf{u}_1, \dots, \textbf{u}_n \) 的最小子空间。
- 维数： \( \text{span}\{\textbf{u}_1, \dots, \textbf{u}_n\} \) 的维数等于集合中线性无关向量的个数（即以这些向量为列的矩阵的秩）。
- 冗余性： 添加一个已在张成空间中的向量不会改变张成空间。移除一个线性相关的向量也不会改变张成空间。
关键事实： 在 \( \mathbb{R}^n \) 中，一组向量张成 \( \mathbb{R}^n \) 当且仅当由这些向量（作为列）构成的矩阵行化简后每一行都有主元位置。等价地，对于方阵 \( n \times n \)，向量张成 \( \mathbb{R}^n \) 当且仅当行列式非零。
示例与解答
例 1：证明两个向量张成 \( \mathbb{R}^2 \)
查看解答
证明向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \) 张成向量空间 \( \mathbb{R}^2 \)。
解答
\( \mathbb{R}^2 \) 中的一般向量形式为 \( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 可以取 \( \mathbb{R} \) 中的任意实数。
要证明 \( \textbf{u}_1 \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 张成 \( \mathbb{R}^2 \)，我们必须证明任意向量 \( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \) 都可以写成 \( \textbf{u}_1 \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 的线性组合。即，我们需要找到标量 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，使得：
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]对右边进行标量乘法和向量加法：
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 - r_2 \\ 5r_1 + 2r_2 \end{bmatrix} \quad \text{(I)} \]这给出一个线性方程组：
\[ \begin{cases} r_1 - r_2 = a \\ 5r_1 + 2r_2 = b \end{cases} \]我们使用消元法求解。将第一个方程乘以 \( 2 \)：
\[ 2r_1 - 2r_2 = 2a \]将此结果加到第二个方程以消去 \( r_2 \)：
\[ (2r_1 - 2r_2) + (5r_1 + 2r_2) = 2a + b \implies 7r_1 = 2a + b \implies r_1 = \frac{2a + b}{7} \]由第一个方程，表示 \( r_2 \)：
\[ r_2 = r_1 - a = \frac{2a + b}{7} - a = \frac{2a + b - 7a}{7} = \frac{b - 5a}{7} \]由于对于任意 \( a \) 和 \( b \) 值，我们总能找到有效的标量 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，因此 \( \mathbb{R}^2 \) 中的任何向量都可以表示为 \( \textbf{u}_1 \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 的线性组合。因此，这些向量张成 \( \mathbb{R}^2 \)。
替代检验： 以这些向量为列的矩阵的行列式为 \( (1)(2) - (-1)(5) = 2 + 5 = 7 \neq 0 \)，确认它们张成 \( \mathbb{R}^2 \)。
例 2：证明向量不张成 \( \mathbb{R}^2 \)
查看解答
证明向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix} \) 不张成向量空间 \( \mathbb{R}^2 \)。
解答
我们测试任意向量 \( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \) 是否可以写成 \( \textbf{u}_1 \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 的线性组合：
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 + 2r_2 \\ -2r_1 - 4r_2 \end{bmatrix} \]这给出方程组：
\[ \begin{cases} r_1 + 2r_2 = a \\ -2r_1 - 4r_2 = b \end{cases} \]将第一个方程乘以 \( 2 \)：
\[ 2a = 2r_1 + 4r_2 \]将方程相加：
\[ 2a + b = (2r_1 + 4r_2) + (-2r_1 - 4r_2) \implies 2a + b = 0 \]这表明只有当 \( 2a + b = 0 \) 时才存在解。如果选择 \( a \) 和 \( b \) 使得 \( 2a + b \neq 0 \)，则方程组无解。因此，给定向量不张成 \( \mathbb{R}^2 \)。
几何解释： 由于 \( \textbf{u}_2 = 2\textbf{u}_1 \)，两个向量都在过原点的同一条直线上。它们的张成空间只是那条直线（一维子空间），而不是整个 \( \mathbb{R}^2 \)。
例 3：标准基向量张成 \( \mathbb{R}^3 \)
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证明向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)、\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \) 张成向量空间 \( \mathbb{R}^3 \)。
解答
我们为 \( \mathbb{R}^3 \) 中的一般向量建立线性组合方程：
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + r_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{bmatrix} \]直接比较得到：
\[ r_1 = a, \quad r_2 = b, \quad r_3 = c \]由于对于任何实数 \( a, b, c \) 总能找到唯一的标量，标准单位向量张成 \( \mathbb{R}^3 \)。
例 4：证明三个非标准向量张成 \( \mathbb{R}^3 \)
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证明向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \)、\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \) 张成向量空间 \( \mathbb{R}^3 \)。
解答
我们将 \( \mathbb{R}^3 \) 中的任意向量表示为线性组合：
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + r_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 \\ 2r_1 + r_2 + 2r_3 \\ -r_2 + r_3 \end{bmatrix} \]这给出方程组：
\[ \begin{cases} r_1 = a \\ 2r_1 + r_2 + 2r_3 = b \\ -r_2 + r_3 = c \end{cases} \]将 \( r_1 = a \) 代入第二个方程：
\[ 2a + r_2 + 2r_3 = b \implies r_2 + 2r_3 = b - 2a \]与 \( -r_2 + r_3 = c \) 一起，将两个方程相加：
\[ (r_2 + 2r_3) + (-r_2 + r_3) = (b - 2a) + c \implies 3r_3 = b + c - 2a \implies r_3 = \frac{b + c - 2a}{3} \]然后由 \( -r_2 + r_3 = c \)：
\[ r_2 = r_3 - c = \frac{b + c - 2a}{3} - c = \frac{b + c - 2a - 3c}{3} = \frac{b - 2c - 2a}{3} \]所以解为：
\[ r_1 = a, \quad r_2 = \frac{b - 2c - 2a}{3}, \quad r_3 = \frac{b + c - 2a}{3} \]因为对于 \( \mathbb{R}^3 \) 中的任何向量，标量都有解，所以这三个向量张成 \( \mathbb{R}^3 \)。
替代检验： 矩阵 \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \) 的行列式为 \( 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = 1 \cdot (1 + 2) = 3 \neq 0 \)，确认它们张成 \( \mathbb{R}^3 \)。
例 5：使用矩阵行运算检验 \( \mathbb{R}^3 \) 中的张成性
查看解答
证明向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \)、\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} \) 不张成向量空间 \( \mathbb{R}^3 \)。
解答
为向量 \( \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \) 建立线性组合方程：
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} + r_3 \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} \]将此系统写成矩阵形式：
\[ \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \]- 初始增广矩阵： \( \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & | & a \\ 2 & 2 & -4 & | & b \\ 0 & -1 & 1 & | & c \end{bmatrix} \)
- 交换第 1 行和第 2 行（并调整符号/行）： \( \begin{bmatrix} 2 & 2 & -4 & | & b \\ -1 & 0 & 1 & | & a \\ 0 & -1 & 1 & | & c \end{bmatrix} \)
- 将第 1 行加到第 2 行的两倍以更新第 2 行： \( \begin{bmatrix} 2 & 2 & -4 & | & b \\ 0 & 2 & -2 & | & 2a + b \\ 0 & -1 & 1 & | & c \end{bmatrix} \)
- 将第 2 行加到第 3 行的两倍以更新第 3 行： \( \begin{bmatrix} 2 & 2 & -4 & | & b \\ 0 & 2 & -2 & | & 2a + b \\ 0 & 0 & 0 & | & 2a + b + 2c \end{bmatrix} \)
最后一行表明，如果 \( 2a + b + 2c \neq 0 \)，则方程组无解。因此，由于 \( \mathbb{R}^3 \) 中的某些向量无法形成，给定向量不张成 \( \mathbb{R}^3 \)。
替代检验： 矩阵 \( \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \) 的行列式为：
\[ -1 \cdot (2 \cdot 1 - (-4)(-1)) - 0 + 1 \cdot (2 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) = -1 \cdot (2 - 4) + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0 \]由于行列式为零，向量线性相关，不能张成 \( \mathbb{R}^3 \)。
观察： 注意 \( \textbf{u}_3 = -\textbf{u}_1 - 2\textbf{u}_2 \)。实际上：\( -\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} \)。这不等于 \( \textbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} \)，所以让我通过求解 \( r_1, r_2, r_3 \) 更仔细地验证线性相关性：
令 \( r_1 = 1, r_2 = 1, r_3 = 1 \)：\( \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)。所以 \( \textbf{u}_1 + \textbf{u}_2 + \textbf{u}_3 = \textbf{0} \)，确认线性相关。
常见问题
一组向量的张成空间是什么？
向量 \( \textbf{u}_1, \textbf{u}_2, \dots, \textbf{u}_n \) 的张成空间是这些向量的所有可能线性组合的集合。它构成向量空间的一个子空间。
如何判断向量是否张成 \( \mathbb{R}^n \)？
要判断一组向量是否张成 \( \mathbb{R}^n \)，建立一个等于任意向量的线性组合方程，构造增广矩阵，并检查系统对所有可能的向量是否相容。如果系数矩阵的每一行都有主元，则向量张成 \( \mathbb{R}^n \)。
两个向量能张成 \( \mathbb{R}^3 \) 吗？
不能。至少需要三个向量才能张成 \( \mathbb{R}^3 \)，因为 \( \mathbb{R}^3 \) 的维数是 3。两个向量最多能张成 \( \mathbb{R}^3 \) 中的一个平面（二维子空间）。
张成集和基有什么区别？
张成集是其张成空间等于向量空间的任意向量组。基是线性无关的张成集。基是最有效的张成集。
向张成集中添加更多向量会改变张成空间吗？
不会，向张成集中添加更多向量不会改变张成空间，只要添加的向量已经在原集合的张成空间中。张成空间保持相同的子空间。
更多参考与链接
- 向量空间 - 问题与解答
- 向量的线性组合
- 线性无关与线性相关向量
- 线性代数 - 问题与解答
- Linear Algebra and its Applications - 5th Edition - David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald
- Elementary Linear Algebra - 7th Edition - Howard Anton and Chris Rorres
- Introduction to Linear Algebra - 5th Edition (2016) - Gilbert Strang
- Linear Algebra Done Right - 3rd Edition (2015) - Sheldon Axler