Ce tutoriel explique comment déterminer l'ordre et la linéarité d'une équation différentielle, avec des exemples résolus et des exercices. Voir aussi l'introduction aux équations différentielles.
Ordre d'une équation différentielle
L'ordre d'une équation différentielle est défini comme la dérivée la plus élevée apparaissant dans l'équation.
Exemple 1 : Détermination de l'ordre
Indiquez l'ordre de chaque équation différentielle :
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x y^2 = 2x \\ 2)&\ \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + y = 0 \\ 3)&\ 10y'' - y = e^x \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - x\frac{dy}{dx} + (1-x)y = \sin x \end{aligned} \]Solution :
- 1. La dérivée la plus élevée est \(dy/dx\) → ordre 1.
- 2. La dérivée la plus élevée est \(d^2y/dx^2\) → ordre 2.
- 3. La dérivée la plus élevée est \(y''\) → ordre 2.
- 4. La dérivée la plus élevée est \(d^3y/dx^3\) → ordre 3.
Linéarité d'une équation différentielle
Une équation différentielle est dite linéaire si :
- \(y\) et ses dérivées apparaissent uniquement à la puissance un.
- Il n'y a pas de produits de \(y\) avec elle-même ou ses dérivées.
- Il n'y a pas de fonctions de \(y\) telles que \(\sin y\), \(\ln y\) ou \(y^2\).
- Les coefficients dépendent uniquement de \(x\).
Exemple 2 : Détermination de la linéarité
Déterminez quelles équations sont linéaires :
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x^2y = x \\ 2)&\ \frac{1}{x}\frac{d^2y}{dx^2} - y^3 = 3x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \ln y = 0 \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - 2\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 2\sin x \end{aligned} \]Solution :
- 1. Linéaire.
- 2. Non linéaire (contient \(y^3\)).
- 3. Non linéaire (contient \(\ln y\)).
- 4. Linéaire.
Formes standards
Équation linéaire du premier ordre
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]Équation linéaire du second ordre
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]Exercices et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Déterminez l'ordre et la linéarité de chaque équation :
\[ \begin{aligned} 1)&\ \left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^4 + 2\frac{dy}{dx} = \sin x \\ 2)&\ \frac{dy}{dx} - 2xy = x^2 - x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \sin y = -x \\ 4)&\ \frac{d^2y}{dx^2} = 2xy \end{aligned} \]Réponses :
- 1. Ordre 3, non linéaire.
- 2. Ordre 1, linéaire.
- 3. Ordre 1, non linéaire.
- 4. Ordre 2, linéaire.