Ce tutoriel explique comment résoudre des équations différentielles simples du premier ordre de la forme :
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]Ces équations se résolvent en intégrant les deux côtés par rapport à \( x \). La constante \( C \) représente la constante d'intégration.
Exemples résolus
Exemples résolus étape par étape
Exemple 1
Résoudre :
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]Solution :
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \] \[ y = x^2 + x + C \]Vous pouvez vérifier par dérivation que cela satisfait l'équation d'origine.
Exemple 2
Résoudre :
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]Solution :
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \] \[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \]Soit \( u = 2x \), donc \( du = 2dx \implies dx = \frac{1}{2}du \) :
\[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \] \[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]Exemple 3
Résoudre :
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]Solution :
Multiplions les deux côtés par \( e^x \), simplifions et réécrivons sous la forme :
\[ y' = -e^{3x} \]Intégrons :
\[ y = \int -e^{3x}\,dx \]Soit \( u = 3x \), \( du = 3dx \) :
\[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \] \[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]Exercices d'entraînement et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Résolvez les équations suivantes :
- \( 2\dfrac{dy}{dx} = 6x \)
- \( y'\cos(x) = \sin(2x) \)
- \( y'e^x = e^{3x} \)
Réponses :
- \( y = \dfrac{3}{2}x^2 + C \)
- \( y = -2\cos(x) + C \)
- \( y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \)