Ce tutoriel explique comment résoudre des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants lorsque l'équation caractéristique (auxiliaire) possède deux racines réelles distinctes. Des exemples étape par étape et des exercices sont inclus.
Méthode générale
Considérons l'équation différentielle :
\[ y'' + ay' + by = 0 \]Nous formons l'équation caractéristique (auxiliaire) :
\[ k^2 + ak + b = 0 \]Si cette équation du second ordre possède deux racines réelles distinctes \( k_1 \neq k_2 \), alors la solution générale est :
où \( A \) et \( B \) sont des constantes arbitraires.
Exemples résolus
Exemples résolus étape par étape
Exemple 1
Résoudre :
\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]Solution :
L'équation auxiliaire est :
\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]Factorisons :
\[ (k + 3)(k - 1) = 0 \]Racines :
\[ k_1 = -3, \quad k_2 = 1 \]Solution générale :
\[ y = Ae^{-3x} + Be^{x} \]Exemple 2 (Avec conditions initiales)
Résoudre :
\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]soumise aux conditions initiales :
\[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \]Solution :
Équation auxiliaire :
\[ k^2 + 3k - 10 = 0 \implies (k + 5)(k - 2) = 0 \]Racines :
\[ k_1 = 2, \quad k_2 = -5 \]Solution générale :
\[ y = Ae^{2x} + Be^{-5x} \]Appliquons les conditions initiales pour trouver \( A \) et \( B \) :
1) \( y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 1 \)
Calculons la dérivée \( y'(x) = 2Ae^{2x} - 5Be^{-5x} \) :
2) \( y'(0) = 2A - 5B = 0 \)
La résolution du système d'équations donne :
\[ A = \frac{5}{7}, \quad B = \frac{2}{7} \]Solution finale :
\[ y = \frac{5}{7}e^{2x} + \frac{2}{7}e^{-5x} \]Exercices d'entraînement et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Résolvez les équations différentielles suivantes :
- \( y'' + 5y' - 6y = 0 \)
- \( y'' + y' - 2y = 0 \), avec \( y(0) = 2 \), \( y'(0) = 0 \)
Réponses :
- \( y = Ae^{x} + Be^{-6x} \)
- \( y = \dfrac{4}{3}e^{x} + \dfrac{2}{3}e^{-2x} \)