Ce tutoriel explique comment résoudre des équations différentielles du second ordre lorsque l'équation auxiliaire possède deux solutions réelles égales. Des exemples étape par étape avec des solutions détaillées sont inclus.
Méthode générale
Considérons une équation différentielle du second ordre à coefficients constants :
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]Son équation auxiliaire est :
\[ k^2 + b k + c = 0 \]Si le discriminant satisfait :
\[ b^2 - 4c = 0 \]alors l'équation possède deux solutions réelles égales, données par :
\[ k = -\frac{b}{2} \]Dans ce cas, la solution générale de l'équation différentielle est :
où \( A \) et \( B \) sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
Vérification
Soit \( y = x e^{kx} \). Alors les dérivées sont :
\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \]En substituant dans l'équation différentielle :
\[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \]En factorisant et en simplifiant :
\[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \]Puisque \( k^2 + b k + c = 0 \) et \( 2k + b = 0 \) lorsque \( k = -\frac{b}{2} \), la solution satisfait l'équation différentielle.
Exemples avec solutions
Exemples résolus : Racines répétées et problèmes de valeurs initiales
Exemple 1
Résoudre :
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \]Solution :
L'équation auxiliaire :
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \implies (k + 1)^2 = 0 \implies k = -1 \]La solution générale :
\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \]où \( A \) et \( B \) sont des constantes. Vous pouvez vérifier par substitution que cela satisfait l'équation différentielle.
Exemple 2
Résoudre avec les conditions initiales \( y(0) = 4 \) et \( y'(0) = 0 \) :
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \]Solution :
L'équation auxiliaire :
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \implies (k - 2)^2 = 0 \implies k = 2 \]La solution générale :
\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]Appliquons les conditions initiales :
\[ y(0) = A = 4 \]Dérivons pour trouver \( y'(x) \) :
\[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \]En utilisant \( y'(0) = 0 \) :
\[ y'(0) = 2A + B = 0 \implies 2(4) + B = 0 \implies B = -8 \]Solution finale :
\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]