Ce tutoriel explique comment résoudre des équations différentielles du second ordre dont l'équation auxiliaire possède deux racines complexes conjuguées distinctes. Des exemples étape par étape et des exercices sont inclus pour s'entraîner.
Introduction et solution générale
Considérons une équation différentielle du second ordre :
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]Son équation auxiliaire est :
\[ k^2 + b k + c = 0 \]Si le discriminant satisfait \( b^2 - 4c < 0 \), l'équation du second degré possède deux racines complexes conjuguées :
\[ k_1 = r + ti, \quad k_2 = r - ti \]La solution générale de l'équation différentielle est :
où \( A \) et \( B \) sont des constantes arbitraires.
Exemples avec solutions
Exemples résolus
Exemple 1
Résoudre l'équation différentielle :
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]Solution :
L'équation auxiliaire est :
\[ k^2 + k + 2 = 0 \]La résolution donne deux racines complexes conjuguées :
\[ k_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i, \quad k_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} i \]Ainsi, \( r = -\frac{1}{2} \) et \( t = \frac{\sqrt{7}}{2} \). La solution générale est :
\[ y(x) = e^{-x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) \right) \]Exemple 2
Résoudre l'équation différentielle avec les conditions initiales \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \) :
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{3} \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \]Solution :
Équation auxiliaire :
\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]Racines complexes :
\[ k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i, \quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i \]Solution générale :
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]Appliquons les conditions initiales :
\( y(0) = 1 \implies A \cos(0) + B \sin(0) = A = 1 \implies A = 1 \)
Dérivée \( y'(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2}x\right) \right) + e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( -\frac{3}{2} A \sin\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{3}{2} B \cos\left(\frac{3}{2}x\right) \right) \)
À \( x = 0 \) : \( y'(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2} A + \frac{3}{2} B = 0 \implies \frac{3}{2} B = \frac{\sqrt{3}}{2} A \implies B = \frac{\sqrt{3}}{3} A \).
Puisque \( A = 1 \), alors \( B = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Solution finale :
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]Exercices et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Résolvez les équations différentielles suivantes :
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \)
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \), avec \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \)
Réponses :
- \( y(x) = e^{x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right) \)
- \( y(x) = \cos x \)