Trouvez la première dérivée de \( y = u^v \) en montrant toutes les étapes.
Dérivée de \( u^v \)
Remarque : En général, une fonction de la forme \( y = u^v \), où \( u \) et \( v \) sont des fonctions, n'est ni une fonction puissance de la forme \( x^k \) ni une fonction exponentielle de la forme \( b^x \). Par conséquent, les formules courantes de dérivation ne peuvent pas être appliquées directement. Nous suggérons ici une méthode pour trouver la première dérivée d'une fonction de la forme \( y = u^v \) où \( u \) et \( v \) sont des fonctions dont les dérivées existent.
Étant donné :
\[ y = u^v \]Prenons le logarithme népérien (\( \ln \)) des deux côtés :
\[ \ln y = \ln (u^v) \]Utilisez la propriété des fonctions logarithmiques \( \ln(u^v) = v \ln u \) sur le côté droit :
\[ \ln y = v \ln u \]Dérivez les deux côtés par rapport à \( x \), en utilisant la règle de chaîne et la règle du produit :
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]Multipliez les deux côtés par \( y \) :
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]Remplacez \( y \) par \( u^v \) pour obtenir la formule de la réponse finale :
Exercices et réponses
Problèmes d'entraînement et solutions
Trouvez la première dérivée de :
- \( y = (x+3)^{x - 2} \)
- \( y = (x^2+2)^{\ln x + 1} \)
Réponses aux exercices ci-dessus :
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x+3)^{x - 2} \left( \ln (x+3) + \dfrac{x - 2}{x+3} \right) \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x^2+2)^{\ln x + 1} \left( \dfrac{1}{x} \ln (x^2+2) + (\ln x + 1) \dfrac{2x}{x^2+2} \right) \)