Un tutoriel d'analyse sur la façon de trouver la première dérivée de \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) et de tracer les graphiques de \( f \) et de \( f' \) pour \( x \in \mathbb{R} \).
Graphiques de \( \cos(x) \) et \( \arccos(\cos(x)) \)
Puisque le domaine de \( f \) est \( \mathbb{R} \) et que \( \cos(x) \) est périodique, \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) est également une fonction périodique.
À mesure que \( x \) augmente de \( 0 \) à \( \pi \), \( \cos(x) \) diminue de \( 1 \) à \( -1 \), et \( \arccos(\cos(x)) \) augmente de \( 0 \) à \( \pi \). En fait, pour \( x \in [0, \pi] \), \( \arccos(\cos(x)) = x \). À mesure que \( x \) augmente de \( \pi \) à \( 2\pi \), \( \cos(x) \) augmente de \( -1 \) à \( 1 \), et \( \arccos(\cos(x)) \) diminue de \( \pi \) à \( 0 \).
Puisque \( \cos(x) \) a une période de \( 2\pi \), \( \arccos(\cos(x)) \) a également une période de \( 2\pi \). Le graphique ci-dessous montre les graphiques de \( \arccos(\cos(x)) \) et \( \sin(x) \) de \( 0 \) à \( 2\pi \).
Le graphique ci-dessous montre les graphiques de \( \arccos(\cos(x)) \) et \( \cos(x) \) sur 3 périodes.
Domaine de \( f \) : \( (-\infty, +\infty) \)
Image de \( f \) : \( [0, \pi] \)
Dérivée de \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) et son graphique
\( f(x) \) est une fonction composée, et la dérivée se calcule à l'aide de la règle de chaîne comme suit. Soit \( u = \cos(x) \), d'où \( f(x) = \arccos(u(x)) \).
Appliquons la règle de chaîne de dérivation :
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arccos(u))}{du} = (-\sin(x)) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]Substituons \( u = \cos(x) \) :
\[ f'(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \]Simplifions :
Ci-dessous est représenté \( \arccos(\cos(x)) \) en rouge et sa dérivée en bleu. Notez que la dérivée est indéfinie pour les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( \sin(x) = 0 \), c'est-à-dire en \( x = k\pi \), où \( k \) est un entier. Pour ces mêmes valeurs de \( x \), \( \arccos(\cos(x)) \) atteint soit une valeur maximale égale à \( \pi \), soit une valeur minimale égale à \( 0 \).
Notez que bien que \( \arccos(\cos(x)) \) soit continue pour toutes les valeurs de \( x \), sa dérivée est indéfinie en \( x = k\pi \).
