Un tutoriel sur la façon de trouver la première dérivée de \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) et de tracer les graphiques de \( f \) et de \( f' \) pour \( x \in \mathbb{R} \).
Graphiques de \( \sin(x) \) et \( \arcsin(\sin(x)) \)
Puisque le domaine de \( f \) est \( \mathbb{R} \) et que \( \sin(x) \) est périodique, \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) est également une fonction périodique.
À mesure que \( x \) augmente de \( 0 \) à \( \frac{\pi}{2} \), \( \sin(x) \) augmente de \( 0 \) à \( 1 \) et \( \arcsin(\sin(x)) \) augmente de \( 0 \) à \( \frac{\pi}{2} \). En fait, pour \( x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \), \( \arcsin(\sin(x)) = x \). À mesure que \( x \) augmente de \( \frac{\pi}{2} \) à \( \frac{3\pi}{2} \), \( \sin(x) \) diminue de \( 1 \) à \( -1 \) et \( \arcsin(\sin(x)) \) diminue de \( \frac{\pi}{2} \) à \( -\frac{\pi}{2} \). À mesure que \( x \) augmente de \( \frac{3\pi}{2} \) à \( 2\pi \), \( \sin(x) \) augmente de \( -1 \) à \( 0 \) et \( \arcsin(\sin(x)) \) augmente de \( -\frac{\pi}{2} \) à \( 0 \).
Puisque \( \sin(x) \) a une période de \( 2\pi \), \( \arcsin(\sin(x)) \) a également une période de \( 2\pi \). Le graphique ci-dessous montre les graphiques de \( \arcsin(\sin(x)) \) et \( \sin(x) \) de \( 0 \) à \( 2\pi \).
Le graphique ci-dessous montre les graphiques de \( \arcsin(\sin(x)) \) et \( \sin(x) \) sur 3 périodes.
Domaine de \( f \) : \( (-\infty, +\infty) \)
Image de \( f \) : \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)
Dérivée de \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) et son graphique
\( f(x) \) est une fonction composée et la dérivée se calcule à l'aide de la règle de chaîne comme suit : Soit \( u = \sin(x) \).
D'où \( f(x) = \arcsin(u(x)) \).
Appliquons la règle de chaîne de dérivation :
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \cos(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \]En substituant \( u = \sin(x) \) :
\[ f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \]Simplifions :
Ci-dessous est représenté \( \arcsin(\sin(x)) \) en rouge et sa dérivée en bleu. Notez que la dérivée est indéfinie pour les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( \cos(x) = 0 \), ce qui signifie en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), où \( k \) est un entier. Pour ces mêmes valeurs de \( x \), \( \arcsin(\sin(x)) \) atteint soit une valeur maximale égale à \( \frac{\pi}{2} \), soit une valeur minimale égale à \( -\frac{\pi}{2} \).
Notez que bien que \( \arcsin(\sin(x)) \) soit continue pour toutes les valeurs de \( x \), sa dérivée est indéfinie à certaines valeurs de \( x \).
