Un tutoriel d'analyse sur la façon de trouver la première dérivée de \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) et de tracer les graphiques de \( f \) et de \( f' \) dans son domaine naturel.
Graphiques de \( \tan(x) \) et \( \arctan(\tan(x)) \)
\( f(x) \) est définie pour toutes les valeurs de \( x \in \mathbb{R} \) sauf \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \), où \( k \) est un entier.
Puisque \( \tan(x) \) est périodique, \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) est également une fonction périodique.
À mesure que \( x \) augmente de \( -\frac{\pi}{2} \) à \( \frac{\pi}{2} \) (exclus), \( \tan(x) \) augmente de très petites valeurs (\(-\infty\)) à de très grandes valeurs (\(+\infty\)), et \( \arctan(\tan(x)) \) augmente de \( -\frac{\pi}{2} \) à \( \frac{\pi}{2} \) (exclus), puisque \( \tan(x) \) est indéfinie en \( -\frac{\pi}{2} \) et \( \frac{\pi}{2} \). En fait, pour \( x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), nous avons \( \arctan(\tan(x)) = x \).
Puisque \( \tan(x) \) a une période de \( \pi \), \( \arctan(\tan(x)) \) a également une période de \( \pi \). Le graphique ci-dessous montre les graphiques de \( \arctan(\tan(x)) \) et \( \tan(x) \) de \( -\frac{\pi}{2} \) à \( \frac{3\pi}{2} \).
Domaine de \( f \) : \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
Image de \( f \) : \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
Le graphique ci-dessous montre les graphiques de \( \arctan(\tan(x)) \) sur trois périodes.
Dérivée de \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) et son graphique
\( f(x) \) est une fonction composée, et la dérivée se calcule à l'aide de la règle de chaîne comme suit :
Soit \( u = \tan(x) \), d'où \( f(x) = \arctan(u(x)) \).
Appliquons la règle de chaîne de dérivation :
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{u^2 + 1} \]Substituons \( u = \tan(x) \) :
\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \]Puisque \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \) :
Ci-dessous est représenté \( \arctan(\tan(x)) \) en rouge et sa dérivée en bleu. Notez que la dérivée est indéfinie pour les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( \cos(x) = 0 \), c'est-à-dire en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), où \( k \) est un entier. De plus, \( f(x) \) elle-même est indéfinie en ces mêmes points.
