Des exemples de dérivation implicite accompagnés de solutions détaillées sont présentés.
Explication de la dérivation implicite
Lorsque nous disposons d'une fonction \( y \) explicitée en fonction de \( x \), nous utilisons les règles et les formules de dérivation pour trouver la dérivée \( \dfrac{dy}{dx} \). Par exemple, nous savons comment trouver \( \dfrac{dy}{dx} \) si \( y = 2x^3 - 2x + 1 \).
Dans d'autres situations, cependant, au lieu d'une fonction donnée explicitement, on nous donne une équation contenant des termes en \( y \) et \( x \) et on nous demande de trouver \( \dfrac{dy}{dx} \). Par exemple, on nous donne une équation qui relie \( y \) et \( x \) de la manière suivante : \( xy + y^2 = 1 \) et l'on demande de trouver \( \dfrac{dy}{dx} \).
L'idée principale de la dérivation implicite consiste à dériver les deux côtés de l'équation donnée par rapport à \( x \), puis à résoudre la nouvelle équation ainsi obtenue pour trouver \( \dfrac{dy}{dx} \).
Exemples de dérivation implicite
Exemple 1
Utilisez la dérivation implicite pour trouver la dérivée \( \dfrac{dy}{dx} \) sachant que \( yx + \sin y = 1 \)
Solution de l'exemple 1
Dérivons les deux côtés de l'équation donnée et utilisons la règle de la somme pour la dérivation :
\[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \]Dérivons chaque terme en utilisant la règle du produit pour \( \dfrac{d}{dx}[xy] \) et la règle de chaîne pour \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \) :
\[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \]Remarque : lors du calcul de \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \), nous avons utilisé la règle de chaîne puisque \( y \) est lui-même une fonction de \( x \).
Isolons \( \dfrac{dy}{dx} \) :
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]Exemple 2
Utilisez la dérivation implicite pour trouver la dérivée \( \dfrac{dy}{dx} \) sachant que \( y^{4} + xy^{2} + x = 3 \)
Solution de l'exemple 2
Utilisons la formule de dérivation d'une somme sur le côté gauche de l'équation donnée :
\[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \]Dérivons chaque terme en utilisant la règle de la puissance, la règle du produit et la règle de chaîne :
\[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1)y^{2} + x(2y \dfrac{dy}{dx}) + 1 = 0 \]Isolons \( \dfrac{dy}{dx} \) :
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - y^{2}}{4y^{3} + 2xy} \]Exemple 3
Trouvez tous les points sur le graphique de l'équation :
\[ x^{2} + y^{2} = 4 \]où les tangentes sont parallèles à la droite \( x + y = 2 \)
Solution de l'exemple 3
Réécrivons la droite donnée \( x + y = 2 \) sous la forme explicite : \( y = -x + 2 \), et identifions sa pente comme étant \( m = -1 \). Les tangentes sont parallèles à cette droite et ont par conséquent la même pente, soit \( -1 \). La pente des tangentes en un point peut être trouvée par dérivation implicite de \( x^{2} + y^{2} = 4 \) :
\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \]Soit \( P(a, b) \) le point de tangence. Au point \( P \), la pente est \( -1 \). En substituant \( x \) par \( a \), \( y \) par \( b \), et \( \dfrac{dy}{dx} \) par \( -1 \) dans l'équation ci-dessus, nous obtenons :
\[ 2a + 2b(-1) = 0 \implies 2a = 2b \implies a = b \]Le point \( P(a, b) \) appartient au graphique de \( x^{2} + y^{2} = 4 \), donc :
\[ a^{2} + b^{2} = 4 \]Substituons \( a = b \) dans \( a^2 + b^2 = 4 \) :
\[ 2a^2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm\sqrt{2} \]Nous obtenons ainsi deux points :
\[ (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \quad \text{et} \quad (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \]Exercices
Utilisez la dérivation implicite pour trouver \( \dfrac{dy}{dx} \) pour chaque équation ci-dessous :
- \( xe^{y} = 3 \)
- \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
- \( x \sin(xy) = x \)
Solutions des exercices ci-dessus
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(xy) - xy \cos(xy)}{x^{2} \cos(xy)} \)