La méthode de dérivation logarithmique en analyse utilise les propriétés des fonctions logarithmiques pour dériver des fonctions compliquées et des fonctions pour lesquelles les formules habituelles de dérivation ne s'appliquent pas directement. Plusieurs exemples accompagnés de solutions détaillées sont présentés.
Exemples avec solutions détaillées
Exemple 1
Trouvez la dérivée de :
\[ y = x^{\sin x} \]Solution de l'exemple 1
Nous remarquons d'abord qu'il n'existe pas de formule standard permettant de dériver directement cette fonction. La première dérivée peut être calculée en prenant le logarithme népérien des deux côtés de \( y = x^{\sin x} \) :
\[ \ln y = \ln \left( x^{\sin x} \right) \]Utilisons les propriétés des logarithmes pour réécrire le côté droit :
\[ \ln y = \sin x \ln x \]Nous dérivons maintenant les deux côtés par rapport à \( x \), en utilisant la règle de chaîne sur le côté gauche et la règle du produit sur le côté droit :
\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]Multiplions les deux côtés par \( y \) :
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]Substituons \( y = x^{\sin x} \) :
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x} \]Exemple 2
Trouvez la dérivée \( y' \) de la fonction \( y \) définie par :
\[ y = x e^{-x^2} \]Solution de l'exemple 2
Prenons le logarithme népérien des deux côtés :
\[ \ln y = \ln x + \ln e^{-x^2} \]Simplifions le terme \( \ln e^{-x^2} \) :
\[ \ln y = \ln x - x^2 \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]Multiplions tous les termes par \( y \) :
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]Substituons \( y = x e^{-x^2} \) :
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{-x^2} \]Simplifions :
\[ y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} \]Exemple 3
Trouvez la dérivée \( y' \) de la fonction \( y \) donnée par :
\[ y = 3x^2 e^{-x} \]Solution de l'exemple 3
Prenons le logarithme népérien des deux côtés :
\[ \ln y = \ln 3 + \ln(x^2) + \ln e^{-x} \]Simplifions les termes :
\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]Multiplions tous les termes par \( y \) :
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]Substituons \( y = 3x^2 e^{-x} \) :
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3x^2 e^{-x} \]Réécrivons sous la forme :
\[ y' = 3x(2 - x) e^{-x} \]REMARQUE : À titre d'exercice, utilisez la règle du produit habituelle pour dériver cette fonction et comparez les résultats.
Exemple 4
Trouvez la dérivée \( y' \) de la fonction \( y \) donnée par :
\[ y = (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]Solution de l'exemple 4
Prenons le logarithme népérien des deux côtés et développons les expressions :
\[ \ln y = 2 \ln(1 - x) + 4 \ln(x + 1) \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]Multiplions tous les termes par \( y \) :
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]Simplifions :
\[ y' = -2(1 - x)(x + 1)^3 + 4(x + 1)^3(1 - x)^2 \]REMARQUE : Utilisez les règles habituelles du produit et de chaîne pour dériver directement la fonction initiale et vérifier le résultat.
Exemple 5
Trouvez la dérivée \( y' \) de la fonction \( y \) définie par :
\[ y = \dfrac{\tan x}{e^x} \]Solution de l'exemple 5
Prenons le logarithme népérien des deux côtés :
\[ \ln y = \ln(\tan x) - \ln e^x \]Simplifions \( \ln e^x = x \) :
\[ \ln y = \ln(\tan x) - x \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \]Multiplions tous les termes par \( y \) :
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^x} \]Simplifions :
\[ y' = \dfrac{\sec^2 x - \tan x}{e^x} \]REMARQUE : Utilisez la règle du quotient pour dériver directement cette fonction et vérifiez.
Exemple 6
Trouvez la dérivée \( y' \) de la fonction \( y \) donnée par :
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]Solution de l'exemple 6
Prenons le logarithme népérien des deux côtés et développons à l'aide des propriétés des logarithmes :
\[ \ln y = \ln(x - 2) + \ln(x + 4) - \ln(x + 1) - \ln(x + 5) \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \]Multiplions tous les termes par \( y \) :
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]Simplifions :
\[ y' = \dfrac{2(2x^2 + 13x + 29)}{(x + 1)^2 (x + 5)^2} \]REMARQUE : Utilisez directement la règle du quotient pour comparer les résultats.
Exemple 7
Utilisez la dérivation logarithmique pour prouver la règle du produit \( y = uv \), où \( u \) et \( v \) sont des fonctions de \( x \).
Solution de l'exemple 7
Prenons le logarithme népérien des deux côtés et développons :
\[ \ln y = \ln u + \ln v \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]Multiplions tous les termes par \( y \) :
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \] \[ y' = u'v + v'u \]REMARQUE : Le résultat obtenu est la célèbre règle du produit de dérivation.
Exemple 8
Utilisez la dérivation logarithmique pour prouver la règle du quotient \( y = \dfrac{u}{v} \), où \( u \) et \( v \) sont des fonctions de \( x \).
Solution de l'exemple 8
Prenons le logarithme népérien des deux côtés et développons à l'aide des propriétés des logarithmes :
\[ \ln y = \ln u - \ln v \]Dérivons les deux côtés par rapport à \( x \) :
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]Multiplions tous les termes par \( y \) :
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \] \[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} \]REMARQUE : Le résultat obtenu est la célèbre règle du quotient de dérivation.