Intégrale de \( \csc x \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale :

\[ \int \csc x \, dx \]

Remarque : Il existe plusieurs méthodes pour calculer l'intégrale ci-dessus. Les étapes décrites ci-dessous permettent de revoir de nombreuses notions de trigonométrie et de calcul d'intégrales ; de plus, le résultat final est assez simple.

Utilisons \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \) pour réécrire l'intégrale :

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{\sin x} \, dx \]

\( \sin x \) peut être écrit à l'aide d'une formule d'angle double sous la forme :

\[ \sin x = \sin\left(2 \cdot \dfrac{x}{2}\right) \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) pour écrire :

\[ \sin x = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \]

Substituons ceci dans l'intégrale :

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, dx \]

Utilisez l'intégration par substitution : posons \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \) ou \( dx = \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \). En substituant dans l'intégrale :

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 u \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \cdot \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

Simplifions l'expression :

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) pour écrire :

\[ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - u^2 \]

Substituons dans l'intégrale :

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u(1 - u^2)} \, du \]

Utilisez la décomposition en éléments simples pour écrire l'intégrande sous la forme :

\[ \dfrac{1}{u(1 - u^2)} = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

Substituons de nouveau dans l'intégrale et séparons les termes :

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \int \left(\dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)}\right) du \\[6pt] &= \int \dfrac{1}{u} \, du - \int \dfrac{1}{2(u + 1)} \, du - \int \dfrac{1}{2(u - 1)} \, du \end{aligned} \]

Utilisez la formule d'intégration \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \) :

\[ \int \csc x \, dx = \ln|u| - \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

Regroupons les expressions logarithmiques à l'aide des propriétés des logarithmes (\( \ln a - \ln b - \ln c = \ln\frac{a}{bc} \) et \( \frac{1}{2}\ln a = \ln\sqrt{a} \)) :

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \ln|u| - \left(\dfrac{1}{2} \ln|u + 1| + \dfrac{1}{2} \ln|u - 1|\right) + c \\[6pt] &= \ln|u| - \ln\sqrt{|u + 1||u - 1|} + c \\[6pt] &= \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|u^2 - 1|}}\right) + c \end{aligned} \]

Remarquons que \( |u^2 - 1| = |1 - u^2| \), d'où :

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|1 - u^2|}}\right) + c \]

Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \) :

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|1 - \left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \) :

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

Simplifions en utilisant \( \sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|} = \left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \) :

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}\right) + c \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \) et les propriétés de la valeur absolue pour écrire la réponse finale :