La décomposition de fractions [1] en fractions plus simples et gérables est présentée. L'une de ses applications importantes réside dans le calcul des intégrales de fonctions rationnelles en analyse. Des exemples et des questions ainsi que leurs solutions sont inclus.
Un calculateur en ligne de décomposition en éléments simples peut être utilisé pour vérifier les réponses aux exemples et aux questions.
Règles de décomposition en éléments simples
Comment décomposer une fonction rationnelle \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) en éléments simples ?
1 - Factorisez complètement le polynôme \( Q(x) \) au dénominateur de la fonction rationnelle ci-dessus en facteurs de la forme :
\[ (ax + b)^m \quad \text{et} \quad (ax^2 + bx + c)^n \]Exemple : Soit \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \). Le dénominateur est factorisé sous la forme \( x^3 + 2x^2 + 4x = x(x^2 + 2x + 4) \). Le terme quadratique \( x^2 + 2x + 4 \) est irréductible sur les nombres réels.
2 - Pour chaque facteur de la forme \( (ax + b)^m \), la décomposition comprend la somme de fractions suivante :
\[ \dfrac{C_1}{ax + b} + \dfrac{C_2}{(ax + b)^2} + \dots + \dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]Exemple : La fraction \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) se décompose en \( \dfrac{C_1}{x-2} + \dfrac{C_2}{(x-2)^2} + \dfrac{C_3}{(x-2)^3} \).
3 - Pour chaque facteur de la forme \( (ax^2 + bx + c)^n \), la décomposition comprend la somme de fractions suivante :
\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \dots + \dfrac{A_n x + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \]Exemples avec solutions détaillées
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1 : Décomposez en éléments simples \( \displaystyle \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} \)
Solution de l'exemple 1 :
Nous commençons par factoriser le dénominateur :
\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]Les deux facteurs sont linéaires, avec une puissance de \( 1 \) chacun, la fraction donnée se décompose donc comme suit :
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \]Multipliez les deux côtés par le plus petit dénominateur commun \( (x - 2)(x + 1) \) et simplifiez :
\[ 2x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]Développez le côté droit et regroupez les termes semblables :
\[ 2x + 5 = x(A + B) + A - 2B \]En identifiant les coefficients des polynômes :
\[ 2 = A + B \quad \text{et} \quad 5 = A - 2B \]La résolution de ce système donne \( A = 3 \) et \( B = -1 \). En remplaçant :
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 1} \]Exemple 2 : Décomposez en éléments simples \( \displaystyle \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} \)
Solution de l'exemple 2 :
Factorisez le dénominateur :
\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]En utilisant la règle pour les facteurs linéaires répétés :
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x + 1)^2} \]Multipliez les deux côtés par \( (x + 1)^2 \) :
\[ 1 - 2x = A(x + 1) + B \implies -2x + 1 = Ax + (A + B) \]En identifiant les coefficients :
\[ -2 = A \quad \text{et} \quad 1 = A + B \implies B = 3 \]En substituant \( A \) et \( B \) :
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{-2}{x + 1} + \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]Exemple 3 : Décomposez en éléments simples \( \displaystyle \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} \)
Solution de l'exemple 3 :
Décomposez en utilisant les règles des facteurs linéaires et quadratiques irréductibles :
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3} \]Multipliez les deux côtés par \( (x - 2)(x^2 + 2x + 3) \) :
\[ 4x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x - 2) \]Posons \( x = 2 \) :
\[ 4(4) - 2 + 8 = A(4 + 4 + 3) \implies 22 = 11A \implies A = 2 \]Posons \( x = 0 \) :
\[ 8 = A(3) + C(-2) \implies 8 = 2(3) - 2C \implies 2 = -2C \implies C = -1 \]Posons \( x = 1 \) (sachant que \( A = 2, C = -1 \)) :
\[ 4(1) - 1 + 8 = 2(1 + 2 + 3) + (B - 1)(1 - 2) \] \[ 11 = 12 - (B - 1) \implies B = 2 \]La fraction se décompose ainsi :
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 2x + 3} \]Questions
Décomposez les fractions suivantes en éléments simples :
- \( \displaystyle \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} \)
Solutions des questions ci-dessus
-
Factorisation du dénominateur : \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \).
Forme : \( \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2} \).
Réponse : \( \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{x + 2} \) -
Le dénominateur est déjà factorisé.
Forme : \( \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{(x - 3)^2} \).
Réponse : \( \dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{3}{(x - 3)^2} \) -
L'expression \( x^2 + 5x + 10 \) ne peut pas être factorisée sur les réels (\( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 < 0 \)).
Forme : \( \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 5x + 10} \).
Réponse : \( -\dfrac{2}{x + 4} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 5x + 10} \)
Plus de références et de liens
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
- Calculateur de décomposition en éléments simples en ligne