Intégrale de \( \sec x \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale :

\[ \int \sec x \, dx \]

Utilisons \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \) pour réécrire l'intégrale :

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \, dx \]

Multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur de l'intégrande de droite par \( \cos x \) :

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) dans le dénominateur pour écrire :

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \, dx \]

Utilisez l'intégration par substitution : posons \( u = \sin x \), ce qui donne \( du = \cos x \, dx \). L'intégrale peut s'écrire :

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \, du \]

Utilisez la décomposition en éléments simples pour exprimer l'intégrande sous la forme :

\[ \dfrac{1}{1 - u^2} = \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

Substituons ceci dans l'intégrale :

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u - 1} \, du \]

Utilisez la formule d'intégration \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \) pour obtenir :

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

Regroupez les expressions logarithmiques à l'aide de la propriété \( \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \) :

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln\left(\dfrac{|u + 1|}{|u - 1|}\right) + c \]

Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = \sin x \) :