Calculez les intégrales de fonctions rationnelles en utilisant la décomposition en éléments simples. Ce tutoriel présente des exemples avec des solutions détaillées, y compris des cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur.
Remarque : Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Vous pouvez également utiliser un calculateur en ligne de décomposition en éléments simples pour vous aider à décomposer les fonctions rationnelles.
Exemples avec solutions
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx \)
Solution de l'exemple 1 :
Nous utilisons la décomposition en éléments simples pour décomposer l'intégrande en fractions plus simples :
\[ \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{7}{x + 2} \]Nous évaluons maintenant l'intégrale terme à terme :
\[ \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \dfrac{2}{x - 1} \, dx - \int \dfrac{7}{x + 2} \, dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 7\ln|x + 2| + C \]Exemple 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx \)
Solution de l'exemple 2 :
Une décomposition en éléments simples de l'intégrande donne :
\[ \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} = \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} - \dfrac{1}{x + 3} \]Nous évaluons maintenant les intégrales :
\[ \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx = \int \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} \, dx - \int \dfrac{1}{x + 3} \, dx \] \[ = \ln|x^2 + 2x + 9| - \ln|x + 3| + C \]Exemple 3 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx \)
Solution de l'exemple 3 :
Dans cet exemple, le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur. La division euclidienne des polynômes est effectuée en premier :
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x - \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \]Une décomposition en éléments simples du terme \( \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \) donne :
\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x + \dfrac{2}{x + 2} - \dfrac{3}{x + 3} \]En utilisant ce qui précède, l'intégrale peut s'écrire :
\[ \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx = \int 2x \, dx + \int \dfrac{2}{x + 2} \, dx - \int \dfrac{3}{x + 3} \, dx \]L'évaluation des intégrales donne :
\[ = x^2 + 2\ln|x + 2| - 3\ln|x + 3| + C \]Exercices pratiques
Évaluez les intégrales suivantes à l'aide des fractions partielles. Cliquez sur chaque exercice pour afficher la solution détaillée.
Exercice 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \)
Solution :
Décomposez en fractions plus simples :
\[ \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} \]D'où,
\[ \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx = \int \left(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2}\right) dx \] \[ = 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C \]Exercice 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx \)
Solution :
Décomposez en fractions plus simples :
\[ \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} = -\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2} \]D'où,
\[ \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx = \int \left(-\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2}\right) dx \] \[ = \ln|2x^2 + x + 2| - 6\ln|x + 7| + C \]Exercice 3 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx \)
Solution :
Comme le degré du numérateur est supérieur, effectuez d'abord la division des polynômes, puis décomposez :
\[ \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} = x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2} \]D'où,
\[ \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx = \int \left(x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2}\right) dx \] \[ = \dfrac{x^3}{3} + 2\ln|x + 1| + 5\ln|x + 2| + C \]