Utilisez la dérivée pour trouver la mesure d'un angle d'un triangle rectangle de sorte que le rayon du cercle inscrit soit maximal, pour une hypoténuse constante.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Problème
ABC est un triangle rectangle et \( r \) est le rayon du cercle inscrit.
a) Exprimez \( r \) en fonction de l'angle \( x \) et de la longueur de l'hypoténuse \( h \).
b) Supposons que \( h \) est constant et que \( x \) varie ; trouvez \( x \) pour lequel \( r \) est maximal.
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a) Soient M, N et P les points de tangence du cercle avec les côtés du triangle. \( OM \), \( ON \) et \( OP \) sont perpendiculaires à \( CB \), \( CA \) et \( AB \) respectivement.
Les triangles COM et CON sont des triangles rectangles et possèdent deux côtés congruents (\( CO \) et les rayons \( OM = ON = r \)) ; les deux triangles sont donc congruents. Nous désignons la mesure de l'angle \( MCN \) par \( x \) et écrivons :
\[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{r}{CM} \]Les triangles BOM et BOP sont des triangles rectangles et possèdent deux côtés congruents (\( BO \) et les rayons \( OM = OP = r \)) ; les deux triangles sont donc congruents. Nous désignons la mesure de l'angle \( MBP \) par \( y \) et écrivons :
\[ \tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]Notez que \( y + x = 90^\circ \), ce qui donne \( \dfrac{y}{2} = 45^\circ - \dfrac{x}{2} \).
Substituons \( \dfrac{y}{2} \) dans l'équation pour \( BM \) :
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]En résolvant pour \( CM \) et \( BM \) :
\[ CM = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}, \quad BM = \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} \]En utilisant le fait que \( h = CM + BM \) :
\[ h = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)} + \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} \right] \]En utilisant l'identité trigonométrique de la différence pour la tangente :
\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan(45^\circ)\tan\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]Substituons ceci dans la formule de \( h \) :
\[ h = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \right] \]Attendez, vérifions le terme réciproque :
\[ \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]En utilisant \( \tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} \), nous simplifions en :
\[ h = r \left[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right] = r \left[ \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)} \right] \]En résolvant pour \( r \) :
\[ r = h \sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right) = h \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right) \]En utilisant les identités de l'angle moitié et du produit (\( \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sin x \) et \( \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - \cos x}{2} \)) :
\[ r = \frac{h}{2} (\sin x + \cos x - 1) \]b) Supposons que \( h \) est constant. Trouvons la première dérivée de \( r \) par rapport à \( x \) :
\[ \frac{dr}{dx} = \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) \]Posons \( \dfrac{dr}{dx} = 0 \) pour trouver les points critiques :
\[ \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) = 0 \implies \cos x = \sin x \]Puisque \( x \) est un angle aigu dans le triangle rectangle, la résolution de \( \cos x = \sin x \) donne :
\[ x = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
Puisque \( \dfrac{dr}{dx} > 0 \) pour \( x < \dfrac{\pi}{4} \) et \( \dfrac{dr}{dx} < 0 \) pour \( x > \dfrac{\pi}{4} \), \( r \) possède un maximum absolu en \( x = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ \). Dans ce cas, le triangle ABC est isocèle.