Comment maximiser le volume d'une boîte en utilisant la première dérivée du volume. Un problème d'optimisation de volume avec solution.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Problème
Une feuille de métal de 12 pouces sur 10 pouces doit être utilisée pour fabriquer une boîte ouverte. Des carrés de côtés égaux \( x \) sont découpés à chaque coin, puis les côtés sont repliés pour former la boîte. Trouvez la valeur de \( x \) qui rend le volume maximal.
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Nous utilisons d'abord la formule du volume d'une boîte rectangulaire :
\[ V = L \times W \times H \]La boîte à fabriquer a les dimensions suivantes :
- \( L = 12 - 2x \)
- \( W = 10 - 2x \)
- \( H = x \)
Nous exprimons maintenant le volume de la boîte en fonction de \( x \) :
\[ V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(6 - x)(5 - x) = 4x(x^2 - 11x + 30) = 4x^3 - 44x^2 + 120x \]Nous déterminons maintenant le domaine de la fonction \( V(x) \). Toutes les dimensions de la boîte doivent être non négatives :
\[ x \ge 0, \quad 12 - 2x \ge 0 \implies x \le 6, \quad 10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5 \]La résolution de ce système d'inéquations donne le domaine de \( V(x) \) :
\[ 0 \le x \le 5 \]Nous calculons maintenant la première dérivée de \( V(x) \) :
\[ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(4(3x^2 - 22x + 30)\right) = 4(3x^2 - 22x + 30) = 12x^2 - 88x + 120 \]Pour trouver les points critiques, posons \( \dfrac{dV}{dx} = 0 \) en résolvant l'équation quadratique \( 3x^2 - 22x + 30 = 0 \) :
\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(3)(30)}}{2(3)} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 360}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{124}}{6} \approx \frac{22 \pm 11,1355}{6} \]Cela donne deux solutions :
\[ x_1 \approx \frac{33,1355}{6} \approx 5,52, \quad x_2 \approx \frac{10,8645}{6} \approx 1,81 \]La valeur \( x \approx 5,52 \) est en dehors du domaine \( [0, 5] \) et est donc rejetée. Ainsi, le seul point critique dans le domaine est \( x \approx 1,81 \).
Nous évaluons maintenant \( V(x) \) au point critique et aux bornes du domaine :
- \( V(0) = 0 \)
- \( V(5) = 0 \)
- \( V(1,81) \approx 4(1,81)(1,81^2 - 11(1,81) + 30) \approx 96,77 \) pouces cubes
Par conséquent, \( V(x) \) atteint son maximum lorsque \( x \approx 1,81 \) pouces. Le graphique de la fonction \( V(x) \) est présenté ci-dessous, confirmant le maximum près de \( x = 1,81 \).
