Un problème visant à maximiser (optimiser) l'aire d'un rectangle à périmètre constant est présenté. Une méthode analytique, basée sur les dérivées d'une fonction et des théorèmes d'analyse, est développée afin de trouver une solution analytique au problème.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Problème
Vous décidez de construire un rectangle de périmètre \( 400 \; \text{mm} \) et d'aire maximale. Trouvez la longueur et la largeur du rectangle.
Afficher la solution du problème
Soit \( x \) (largeur, distance \( DC \)) et \( y \) (longueur, distance \( DA \)) les dimensions du rectangle. L'aire \( A \) et le périmètre \( P \) du rectangle sont donnés par :
\[ A = xy \] \[ P = 400 = 2x + 2y \]Résolvons l'équation du périmètre pour \( y \) :
\[ y = 200 - x \]Substituons \( y = 200 - x \) dans la formule de l'aire pour obtenir l'aire en fonction de \( x \) :
\[ A(x) = x(200 - x) = -x^2 + 200x \]Le domaine de la fonction \( A(x) \) est l'intervalle fermé \( [0, 200] \) puisque \( x \ge 0 \) et \( y = 200 - x \ge 0 \) (ce qui implique \( x \le 200 \)).
Pour trouver la valeur de \( x \) qui maximise \( A \), nous calculons la première dérivée \( \dfrac{dA}{dx} \) :
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 200 \]En posant \( \dfrac{dA}{dx} = 0 \) pour trouver les points critiques :
\[ -2x + 200 = 0 \implies x = 100 \]Aux bornes du domaine, \( A(0) = 0 \) et \( A(200) = 0 \). La seconde dérivée est :
\[ \frac{d^2A}{dx^2} = -2 \]Puisque la seconde dérivée est négative (\( -2 < 0 \)), d'après le test de la seconde dérivée, le point critique \( x = 100 \) correspond à un maximum local (qui est un maximum absolu sur l'intervalle fermé).
La longueur correspondante est \( y = 200 - 100 = 100 \; \text{mm} \), et l'aire maximale est \( A(100) = 100 \times 100 = 10000 \; \text{mm}^2 \). Ainsi, choisir un rectangle de largeur \( x = 100 \; \text{mm} \) et de longueur \( y = 100 \; \text{mm} \) (un carré) donne la plus grande aire possible.
Exercices
-
Exercice 1 : Résolvez le même problème que ci-dessus mais avec un périmètre égal à \( 500 \; \text{mm} \).
Afficher la solution de l'exercice 1
En utilisant la formule du périmètre \( 2x + 2y = 500 \implies y = 250 - x \). La fonction d'aire est :
\[ A(x) = x(250 - x) = -x^2 + 250x \]En prenant la première dérivée :
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 250 = 0 \implies x = 125 \; \text{mm} \]La longueur est \( y = 250 - 125 = 125 \; \text{mm} \).
Conclusion : Largeur \( x = 125 \; \text{mm} \) et longueur \( y = 125 \; \text{mm} \) (un carré).