Utilisez la première dérivée pour trouver l'équation d'une fonction quadratique étant données les lignes tangentes au graphique de cette fonction.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Problème
a) Trouvez l'équation d'une fonction quadratique dont le graphique est tangent en \( x = 1 \) à la droite de pente 8, tangent en \( x = -2 \) à la droite de pente \(-4\), et tangent à la droite horizontale \( y = -8 \).
b) Trouvez les équations des tangentes en \( x = 1 \) et \( x = -2 \).
c) Tracez le graphique de la fonction quadratique obtenue et des 3 tangentes dans le même système de coordonnées, et étiquetez les tangentes ainsi que les points de tangence.
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a) La pente de la tangente au graphique d'une fonction \( f \) est donnée par sa première dérivée. Soit \( f \) la fonction quadratique écrite sous sa forme standard :
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]La première dérivée de \( f \) est :
\[ f'(x) = 2ax + b \]Puisque la pente de la droite tangente est égale à la valeur de la dérivée au point de tangence, nous pouvons établir deux équations à partir des tangentes en \( x = 1 \) et \( x = -2 \) :
\[ f'(1) = 2a(1) + b = 8 \] \[ f'(-2) = 2a(-2) + b = -4 \]En résolvant ce système d'équations linéaires :
\[ 2a + b = 8 \] \[ -4a + b = -4 \]En soustrayant la seconde équation de la première, on obtient \( 6a = 12 \implies a = 2 \). En substituant \( a = 2 \) dans \( 2(2) + b = 8 \), on trouve \( b = 4 \).
La troisième tangente \( y = -8 \) est horizontale, sa pente est donc \( 0 \). Une droite horizontale est tangente à une parabole en son sommet. La coordonnée \( x \) du sommet \( h \) se trouve en posant \( f'(x) = 0 \) :
\[ 2ah + b = 0 \implies h = -\frac{b}{2a} \]En substituant \( a = 2 \) et \( b = 4 \) :
\[ h = -\frac{4}{2(2)} = -1 \]Le graphique de la fonction quadratique a son sommet en \( (-1, -8) \), ce qui signifie que \( f(-1) = -8 \) :
\[ f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 2(1) + 4(-1) + c = -8 \] \[ 2 - 4 + c = -8 \implies -2 + c = -8 \implies c = -6 \]Ainsi, la fonction quadratique \( f \) est :
\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 6 \]b) Maintenant que nous avons l'équation de la fonction quadratique, nous trouvons les coordonnées \( y \) des points de tangence en \( x = 1 \) et \( x = -2 \) :
- En \( x = 1 \) : \( y = f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0 \text{ (point } (1, 0) \text{)} \).
- En \( x = -2 \) : \( y = f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = -6 \text{ (point } (-2, -6) \text{)} \).
En utilisant la forme point-pente \( y - y_1 = m(x - x_1) \) :
- Tangente en \( x = 1 \) (pente \( m = 8 \), passant par \( (1, 0) \)) : \( y - 0 = 8(x - 1) \implies y = 8x - 8 \)
- Tangente en \( x = -2 \) (pente \( m = -4 \), passant par \( (-2, -6) \)) : \( y - (-6) = -4(x - (-2)) \implies y + 6 = -4(x + 2) \implies y = -4x - 14 \)
c) Graphiques de la fonction quadratique et des trois tangentes :
