Des théorèmes liés à la continuité des fonctions et à leurs applications en analyse sont présentés et discutés avec des exemples.
Théorème 1
Toutes les fonctions polynomiales ainsi que les fonctions \( \sin x \), \( \cos x \), \( \arctan x \) et \( e^x \) sont continues sur l'intervalle \( (-\infty, +\infty) \).
Exemple : Évaluer des limites à l'aide de la continuité
Évaluez les limites suivantes :
- \( \lim_{x\to 0} \sin (x) \)
- \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
- \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) \)
Solution :
Si la fonction \( f \) est continue en \( x = a \), alors \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \).
- Puisque \( \sin(x) \) est continue : \( \lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0 \)
- Puisque \( \cos(x) \) est continue : \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = -1 \)
- Puisque \( \arctan(x) \) est continue : \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
Théorème 2
Si les fonctions \( f \) et \( g \) sont continues en \( x = a \), alors :
- A. \( (f + g) \) est continue en \( x = a \).
- B. \( (f - g) \) est continue en \( x = a \).
- C. \( (f \cdot g) \) est continue en \( x = a \).
- D. \( (f / g) \) est continue en \( x = a \) si \( g(a) \neq 0 \). (Si \( g(a) = 0 \), alors \( (f / g) \) est discontinue en \( x = a \)).
Exemple : Continuité des combinaisons algébriques
Soient \( f(x) = \sin x \) et \( g(x) = \cos x \). Sur quels intervalles les fonctions \( (f + g) \), \( (f - g) \), \( (f \cdot g) \) et \( (f / g) \) sont-elles continues ?
Solution :
Puisque \( \sin x \) et \( \cos x \) sont toutes deux continues partout, d'après le théorème 2, \( (f + g) \), \( (f - g) \) et \( (f \cdot g) \) sont continues partout.
Cependant, \( (f / g) \) est continue partout sauf pour les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur \( g(x) = 0 \). Ces valeurs se trouvent en résolvant :
\[ \cos x = 0 \]Les valeurs qui vérifient \( \cos x = 0 \) sont :
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{où } k \text{ est un entier quelconque.} \]Ainsi, \( (f / g) \) est continue partout sauf en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
Théorème 3
Une fonction rationnelle est continue partout sauf pour les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur de la fonction.
Exemple : Recherche de points de discontinuité
Trouvez les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction \( f \) est discontinue :
\[ f(x) = \frac{x - 2}{(2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5)} \]Solution :
Le dénominateur de \( f \) est le produit de deux termes :
\[ (2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5) \]Le terme \( x^4 + 5 \) est toujours positif, et ne s'annule donc jamais. Trouvons maintenant les zéros de \( 2x^2 + 2x - 4 \) en résolvant :
\[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]En divisant par 2, on obtient \( x^2 + x - 2 = 0 \), qui se factorise en \( (x - 1)(x + 2) = 0 \).
Les solutions sont \( x = 1 \) et \( x = -2 \).
Par conséquent, la fonction \( f \) est discontinue en \( x = 1 \) et \( x = -2 \).
Théorème 4
Si \( \lim_{x\to a} g(x) = L \) et si \( f \) est une fonction continue en \( x = L \), alors :
\[ \lim_{x\to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to a} g(x)\right) = f(L) \]Exemple : Évaluation de limites composées
Évaluez la limite :
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) \]Solution :
\( \sin x \) est continue partout et \( 2x + 5 \) est un polynôme (continu partout). Par conséquent :
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to a}(2x + 5)\right) = \sin(2a + 5) \]Théorème 5
Si \( g \) est une fonction continue en \( x = a \) et que la fonction \( f \) est continue en \( g(a) \), alors la fonction composée \( f \circ g \) est continue en \( x = a \).
Exemple : Démonstration de la continuité de compositions exponentielles
Montrez que toute fonction de la forme \( e^{ax + b} \) est continue partout, où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels.
Solution :
La fonction exponentielle \( f(x) = e^x \) et la fonction linéaire \( g(x) = ax + b \) sont continues partout. Par conséquent, leur composition \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) est également continue partout.