Des questions avec réponses sur la continuité des fonctions, avec un accent particulier sur les fonctions rationnelles et par morceaux, sont présentées. La continuité d'une fonction et de sa dérivée en un point donné est discutée. La signification graphique et l'interprétation de la continuité sont également incluses.
Exemple 1 : Identification des points de discontinuité
Pour quelles valeurs de \( x \) chacune des fonctions suivantes est-elle discontinue ?
- a) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
- b) \( g(x) = \dfrac{2}{x-2} \)
- c) \( h(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1} \)
- d) \( i(x) = \tan(x) \)
- e) \( j(x) = \dfrac{1}{\cos(x)-1} \)
- f) \( k(x) = \dfrac{x+2}{x^2+5} \)
- g) \( l(x) = \begin{cases} \dfrac{x+4}{x+4} & x \ne -4 \\ 1 & x = -4 \end{cases} \)
Solution de l'exemple 1
- a) Pour \( x = 0 \), le dénominateur de la fonction \( f(x) \) est égal à \( 0 \), de sorte que \( f(x) \) n'est pas définie et n'a pas de limite. Par conséquent, \( f(x) \) est discontinue en \( x = 0 \).
- b) Pour \( x = 2 \), le dénominateur de la fonction \( g(x) \) est égal à \( 0 \) et la fonction est indéfinie sans limite. La fonction \( g(x) \) n'est pas continue en \( x = 2 \).
- c) Le dénominateur de \( h(x) \) se factorise en \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Le dénominateur est nul pour \( x = 1 \) et \( x = -1 \), où la fonction est indéfinie et n'a pas de limite. La fonction \( h \) est discontinue en \( x = 1 \) et \( x = -1 \).
- d) \( \tan(x) \) est indéfinie pour toutes les valeurs de \( x \) telles que \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (où \( k \) est un entier quelconque), ce qui la rend discontinue en ces valeurs.
- e) Le dénominateur de \( j(x) \) s'annule lorsque \( \cos(x) - 1 = 0 \), soit \( x = 2k\pi \) où \( k \) est un entier. La fonction est indéfinie et discontinue en ces points.
- f) La fonction \( k(x) \) est le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur \( x^2 + 5 \) ne s'annule jamais. Elle est définie pour toutes les valeurs réelles de \( x \) et ne présente aucun point de discontinuité.
- g) \( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \) pour \( x \ne -4 \). Puisque \( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \), la fonction \( l(x) \) est continue pour toutes les valeurs réelles de \( x \) et ne présente aucun point de discontinuité.
Exemple 2 : Recherche de paramètres pour la continuité par morceaux
Trouvez \( b \) tel que \( f(x) \) définie ci-dessous soit continue :
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2+b & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]Solution de l'exemple 2
Pour \( x > -1 \), \( f(x) = 2x^2 + b \) est une fonction polynomiale et par conséquent continue.
Pour \( x < -1 \), \( f(x) = -x^3 \) est une fonction polynomiale et par conséquent continue.
En \( x = -1 \) :
\[ f(-1) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]Considérons les limites à gauche et à droite :
\[ L_1 = \lim_{x\to -1^{\text{--}}} f(x) = -(-1)^3 = 1 \] \[ L_2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]Pour que la fonction \( f \) soit continue en \( x = -1 \), nous exigeons que \( L_2 = L_1 \) :
\[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \]En substituant \( b = -1 \) dans la fonction, on obtient :
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]Le graphique de \( f \) est représenté ci-dessous, confirmant la continuité en \( x = -1 \) :
Exemple 3 : Continuité d'une fonction et de sa dérivée
Trouvez \( a \) et \( b \) tels que la fonction \( g(x) \) définie ci-dessous ainsi que sa dérivée première soient toutes deux continues :
\[ g(x) = \begin{cases} ax^2+b & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]Solution de l'exemple 3
Continuité de la fonction \( g \) :
- Pour \( x > 2 \), \( g(x) = ax^2 + b \) est continue.
- Pour \( x < 2 \), \( g(x) = -2x + 2 \) est continue.
Limites en \( x = 2 \) :
\[ L_1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a(2)^2 + b = 4a + b \] \[ L_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]Pour la continuité en \( x = 2 \), nous devons avoir \( L_1 = L_2 \) :
\[ 4a + b = -2 \]Continuité de la dérivée \( g' \) :
- Pour \( x > 2 \), \( g'(x) = 2ax \) est continue.
- Pour \( x < 2 \), \( g'(x) = -2 \) est continue.
Limites de la dérivée en \( x = 2 \) :
\[ l_1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4a \] \[ l_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g'(x) = -2 \]Pour la continuité de \( g' \) en \( x = 2 \), nous devons avoir \( l_1 = l_2 \) :
\[ 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2} \]En substituant \( a = -\frac{1}{2} \) dans \( 4a + b = -2 \) :
\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right) + b = -2 \implies -2 + b = -2 \implies b = 0 \]Ainsi, la fonction est :
\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]La fonction \( g(x) \) est représentée graphiquement ci-dessous, montrant que la fonction et sa dérivée (pente) sont toutes deux continues en \( x = 2 \) :
