Explorateur interactif de la fonction sinus
Explorez la fonction sinus générale :
\[
f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x)
\]
Où :
- a = amplitude (contrôle la hauteur de l'onde)
- b = fréquence (contrôle le nombre de cycles se produisant dans \(2\pi\))
La première dérivée (en utilisant la règle de chaîne) est :
\[
f'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x)
\]
(amplitude)
(fréquence)
\(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x)\) - Fonction sinus
\(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x)\) - Dérivée première (cosinus)
Droite tangente au point sélectionné
Valeur de x actuelle (radians) :
-6.28
\(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x) =\)
0.00
\(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x) =\)
1.00
Pente de la tangente :
1.00
Activités d'apprentissage et guide d'exploration
- Exploration de base : Cliquez sur "Mettre à jour le graphique". Observez la courbe sinusoïdale bleue (\(f(x)\)), la courbe cosinusoïdale rouge (\(f'(x)\)) et la droite tangente noire. Modifiez les valeurs de \(a\) et \(b\) pour voir comment les graphiques se transforment.
- Extrema locaux : Utilisez le curseur pour positionner la droite tangente aux points de maximum ou de minimum locaux de la fonction sinus. Remarquez que la pente est nulle en ces points. Que vaut \(f'(x)\) en ces points ?
- Intervalles de croissance / décroissance :
- Partez d'un minimum et allez jusqu'au maximum suivant. La fonction est croissante. Quel est le signe de \(f'(x)\) dans cet intervalle ?
- Partez d'un maximum et allez jusqu'au minimum suivant. La fonction est décroissante. Quel est le signe de \(f'(x)\) dans cet intervalle ?
- Effet de l'amplitude (paramètre a) : Modifiez uniquement le paramètre \(a\). Comment affecte-t-il à la fois \(f(x)\) et \(f'(x)\) ? Essayez \(a = 0.5\), \(a = 1\), \(a = 2\). Que se passe-t-il avec la pente maximale ?
- Effet de la fréquence (paramètre b) : Modifiez uniquement le paramètre \(b\). Essayez \(b = 1\), \(b = 2\), \(b = 3\), \(b = 4\). Comment cela affecte-t-il :
- Le nombre de cycles dans la plage affichée ?
- La valeur maximale de la dérivée ?
- La pente de la droite tangente en des points similaires ?
- Points à pente nulle : Trouvez les points où la droite tangente est horizontale. Ceux-ci se produisent lorsque \(f'(x) = 0\). Pour les valeurs par défaut (\(a=1\), \(b=1\)), cela se produit à \(x = \pi/2, 3\pi/2\), etc. Que vaut \(f(x)\) en ces points ?
- Points à pente maximale : Trouvez les points où la droite tangente est la plus raide (pente absolue maximale). Ceux-ci se produisent lorsque \(|f'(x)|\) est maximal. Pour les valeurs par défaut, cela se produit à \(x = 0, \pi, 2\pi\), etc. Que vaut \(f(x)\) en ces points ?
- Étude de la période : La période de \(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x)\) est \(2\pi/b\). Vérifiez cela en comptant les cycles complets entre \(x = -2\pi\) et \(x = 2\pi\) pour différentes valeurs de \(b\).
- Visualisation de la règle de chaîne : Observez que \(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x)\). Le facteur '\(b\)' apparaît dans la dérivée en raison de la règle de chaîne. Comment la modification de \(b\) affecte-t-elle l'amplitude de la dérivée ?
- Déphasage : Définissez \(a = 1\), \(b = 1\) et observez où \(f(x) = 0\). Définissez maintenant \(b = 2\). Où \(f(x) = 0\) maintenant ? Comment la fréquence affecte-t-elle les zéros de la fonction ?
- Exploration avancée : Essayez des valeurs négatives pour \(a\) et/ou \(b\). Que se passe-t-il ? Pouvez-vous prédire le comportement avant de modifier les valeurs ?
Concepts clés d'analyse démontrés
\[
\text{Pente de la droite tangente} = f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\]
Dérivée de la fonction sinus
En utilisant la règle de chaîne :
\[
\frac{d}{dx}[a \cdot \sin(b \cdot x)] = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x)
\]
Points critiques & extrema
Pour \(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x)\) :
- Les maxima locaux se produisent lorsque \(\sin(b\cdot x) = 1 \implies b\cdot x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)
- Les minima locaux se produisent lorsque \(\sin(b\cdot x) = -1 \implies b\cdot x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\)
- En ces points, \(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x) = 0\)
Test de la dérivée première
- Si \(f'(x)\) passe du positif au négatif en \(x_0\), alors \(f\) a un maximum local en \(x_0\).
- Si \(f'(x)\) passe du négatif au positif en \(x_0\), alors \(f\) a un minimum local en \(x_0\).
- Pour les fonctions sinus, ce schéma se répète périodiquement.
Périodicité
À la fois \(f(x)\) et \(f'(x)\) sont périodiques :
\[
\text{Période de } f(x) = \frac{2\pi}{|b|}, \quad \text{Période de } f'(x) = \frac{2\pi}{|b|}
\]