Cette page présente la dérivée de la fonction logarithme népérien ln(x) en utilisant la définition de la dérivée. Nous couvrons également la dérivée des fonctions composées de la forme \( \ln(u(x)) \) et fournissons des exemples détaillés.
Preuve de la dérivée de ln(x) en utilisant la définition
La dérivée d'une fonction \( f \) est définie comme suit :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Soit \( f(x) = \ln(x) \). Alors :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h} \]En utilisant la propriété des puissances des logarithmes, nous écrivons :
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \]Substituons \( y = \dfrac{h}{x} \), de sorte que \( h = yx \) et \( \lim_{h \to 0} y = 0 \). Alors :
\[ f'(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln\left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \dfrac{1}{x} \]
Formule :
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \]
Dérivée d'une fonction composée \( y = \ln(u(x)) \)
En utilisant la règle de chaîne :
Formule de la règle de chaîne :
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(u(x)) = \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} \]
Exemples avec solutions
Exemple 1 : Dérivées de fonctions ln composées
Trouvez les dérivées des fonctions suivantes :
- \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
- \( g(x) = \ln\left(\sqrt{x^3+1}\right) \)
- \( h(x) = \ln(x^2 + 2x - 5) \)
Solutions :
- Soit \( u(x) = \dfrac{x^2}{x-2} \), alors \( u'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \). \[ f'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \cdot \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x-4}{x(x-2)} \]
- Soit \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \), alors \( u'(x) = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \). \[ g'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \cdot \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)} \]
- Soit \( u(x) = x^2+2x-5 \), alors \( u'(x) = 2x+2 \). \[ h'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \]