Les propriétés des limites de fonctions, sous forme de théorèmes, sont présentées ainsi que quelques exemples d'application et des solutions détaillées.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Théorèmes & Propriétés des limites
Théorème : Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions et que les limites \( \lim_{x \to a} f(x) \) et \( \lim_{x \to a} g(x) \) existent toutes deux, alors :
Propriété 1 : La limite de la somme de deux fonctions est la somme de leurs limites.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \]Propriété 2 : La limite de la différence de deux fonctions est la différence de leurs limites.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) - g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \]Propriété 3 : La limite du produit de deux fonctions est le produit de leurs limites.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) \times g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) \]Propriété 4 : La limite du quotient de deux fonctions est le quotient de leurs limites si la limite du dénominateur n'est pas égale à 0.
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{à condition que} \quad \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \]Propriété 5 : La limite de la racine n-ième d'une fonction est la racine n-ième de la limite de la fonction, si la racine n-ième de la limite est un nombre réel.
\[ \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \]Si \( n \) est pair, \( \lim_{x \to a} f(x) \) doit être positive.
Exemples avec solutions détaillées
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1
Calculez \( \lim_{x \to -2} h(x) \) où \( h(x) \) est donnée par :
\[ h(x) = x + 5 \]Afficher la solution de l'exemple 1
Nous pouvons considérer \( h(x) \) comme la somme de \( f(x) = x \) et \( g(x) = 5 \) et appliquer le théorème 1 ci-dessus :
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = \lim_{x \to -2} x + \lim_{x \to -2} 5 \]\( x \) et \( 5 \) sont des fonctions de base et leurs limites sont connues :
\[ \lim_{x \to -2} x = -2 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -2} 5 = 5 \]Par conséquent :
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = -2 + 5 = 3 \]Exemple 2
Calculez \( \lim_{x \to 10} h(x) \) où \( h(x) \) est donnée par :
\[ h(x) = x - 7 \]Afficher la solution de l'exemple 2
Nous pouvons considérer \( h(x) \) comme la différence de \( f(x) = x \) et \( g(x) = 7 \) et appliquer le théorème 2 ci-dessus :
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = \lim_{x \to 10} x - \lim_{x \to 10} 7 \]\( x \) et \( 7 \) sont des fonctions de base avec des limites connues :
\[ \lim_{x \to 10} x = 10 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 10} 7 = 7 \]Par conséquent :
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = 10 - 7 = 3 \]Exemple 3
Calculez \( \lim_{x \to -5} m(x) \) où \( m(x) \) est donnée par :
\[ m(x) = 3x \]Afficher la solution de l'exemple 3
Soit \( m(x) = f(x) \times g(x) \), où \( f(x) = 3 \) et \( g(x) = x \), et appliquons le théorème 3 ci-dessus :
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = \lim_{x \to -5} 3 \times \lim_{x \to -5} x \]3 est une fonction constante et \( x \) est une fonction de base avec des limites connues :
\[ \lim_{x \to -5} 3 = 3 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -5} x = -5 \]Par conséquent :
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]Exemple 4
Calculez \( \lim_{x \to 3} r(x) \) où \( r(x) \) est donnée par :
\[ r(x) = \dfrac{3 - x}{x} \]Afficher la solution de l'exemple 4
Soit \( r(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \), où \( f(x) = 3 - x \) et \( g(x) = x \), et appliquons le théorème 4 ci-dessus :
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{\lim_{x \to 3} (3 - x)}{\lim_{x \to 3} x} \]\( 3 - x \) est la différence de deux fonctions de base et \( x \) est une fonction de base :
\[ \lim_{x \to 3} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 3} x = 3 \]Par conséquent :
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{0}{3} = 0 \]Exemple 5
Calculez \( \lim_{x \to 5} m(x) \) où \( m(x) \) est donnée par :
\[ m(x) = \sqrt{2x - 1} \]Afficher la solution de l'exemple 5
Soit \( f(x) = 2x - 1 \) et trouvons sa limite en appliquant les théorèmes de la différence et du produit ci-dessus :
\[ \lim_{x \to 5} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]Nous appliquons maintenant le théorème 5 puisque la racine carrée de 9 est un nombre réel :
\[ \lim_{x \to 5} m(x) = \sqrt{9} = 3 \]