Localisez les maxima relatifs, les minima et les points selles de fonctions de deux variables. Plusieurs exemples avec des solutions détaillées sont présentés. Des graphiques en 3 dimensions de fonctions sont affichés pour confirmer l'existence de ces points. Plus de contenu sur les problèmes d'optimisation avec des fonctions de deux variables est disponible sur ce site Web.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Théorème : Test de la dérivée seconde pour les fonctions de deux variables
Soit \( f \) une fonction de deux variables dont les dérivées partielles du second ordre \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) et \( f_{xy} \) sont continues en un point critique \( (a, b) \). Soit :
\[ D = f_{xx}(a, b) f_{yy}(a, b) - f_{xy}^2(a, b) \]- a) Si \( D > 0 \) et \( f_{xx}(a, b) > 0 \), alors \( f \) possède un minimum relatif au point \( (a, b) \).
- b) Si \( D > 0 \) et \( f_{xx}(a, b) < 0 \), alors \( f \) possède un maximum relatif au point \( (a, b) \).
- c) Si \( D < 0 \), alors \( f \) possède un point selle au point \( (a, b) \).
- d) Si \( D = 0 \), alors aucune conclusion ne peut être tirée.
Exemples avec solutions détaillées
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1
Déterminez les points critiques et localisez les éventuels minima relatifs, maxima et points selles de la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]Afficher la solution de l'exemple 1
Trouvez les dérivées partielles premières \( f_x \) et \( f_y \) :
\[ f_x(x, y) = 4x + 2y - 6 \] \[ f_y(x, y) = 2x + 4y \]Les points critiques satisfont simultanément les équations \( f_x(x, y) = 0 \) et \( f_y(x, y) = 0 \) :
\[ 4x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2x + 4y = 0 \implies x = -2y \]Substituez \( x = -2y \) dans la première équation :
\[ 4(-2y) + 2y - 6 = 0 \implies -6y = 6 \implies y = -1 \]Puis \( x = -2(-1) = 2 \). Le système possède un unique point critique en \( (2, -1) \).
Trouvez les dérivées partielles du second ordre :
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 4, \quad f_{xy}(x, y) = 2 \]Évaluez \( D \) en \( (2, -1) \) :
\[ D = f_{xx}(2, -1) f_{yy}(2, -1) - f_{xy}^2(2, -1) = (4)(4) - 2^2 = 16 - 4 = 12 \]Puisque \( D = 12 > 0 \) et \( f_{xx}(2, -1) = 4 > 0 \), la fonction \( f \) possède un minimum local en \( (2, -1) \).
Le graphique en 3D confirme un minimum local en \( (2, -1, f(2, -1)) = (2, -1, -6) \).
Exemple 2
Déterminez les points critiques et localisez les éventuels minima relatifs, maxima et points selles de la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^4 + 2 \]Afficher la solution de l'exemple 2
Trouvez les dérivées partielles premières \( f_x \) et \( f_y \) :
\[ f_x(x, y) = 4x - 4y \] \[ f_y(x, y) = -4x + 4y^3 \]Résolvez simultanément \( f_x(x, y) = 0 \) et \( f_y(x, y) = 0 \) :
\[ 4x - 4y = 0 \implies x = y \]Substituez \( x = y \) dans \( -4x + 4y^3 = 0 \) :
\[ -4y + 4y^3 = 0 \implies 4y(y^2 - 1) = 0 \implies y = 0, \; y = 1, \; y = -1 \]En utilisant \( x = y \), les points critiques sont :
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]Trouvez les dérivées partielles du second ordre :
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = -4 \]Évaluez \( D \) et \( f_{xx} \) en chaque point critique :
| Point critique \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | -4 | -4 | -4 |
| \( D \) | -16 | 32 | 32 |
| Conclusion | Point selle | Minimum relatif | Minimum relatif |
Exemple 3
Déterminez les points critiques et localisez les éventuels minima relatifs, maxima et points selles de la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x, y) = -x^4 - y^4 + 4xy \]Afficher la solution de l'exemple 3
Trouvez les dérivées partielles premières \( f_x \) et \( f_y \) :
\[ f_x(x, y) = -4x^3 + 4y \] \[ f_y(x, y) = -4y^3 + 4x \]Résolvez \( f_x = 0 \) et \( f_y = 0 \) :
\[ -4x^3 + 4y = 0 \implies y = x^3 \]Substituez \( y = x^3 \) dans la seconde équation :
\[ -4(x^3)^3 + 4x = 0 \implies -4x^9 + 4x = 0 \implies -4x(x^8 - 1) = 0 \implies x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \]Les solutions réelles pour \( x \) sont \( x = 0, 1, -1 \). En utilisant \( y = x^3 \), les points critiques sont :
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]Dérivées partielles du second ordre :
\[ f_{xx}(x, y) = -12x^2, \quad f_{yy}(x, y) = -12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = 4 \]| Point critique \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( D \) | -16 | 128 | 128 |
| Conclusion | Point selle | Maximum relatif | Maximum relatif |
Exercices
Déterminez les points critiques des fonctions ci-dessous et trouvez si chaque point correspond à un minimum relatif, un maximum ou un point selle. Cliquez sur chaque exercice pour vérifier vos réponses.
Exercice 1
\( f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 2xy - 8x \)
Afficher la réponse
Point critique en \( (6, 2) \). Puisque \( f_{xx} = 2 > 0 \) et \( D = 2(6) - (-2)^2 = 8 > 0 \), il y a un minimum relatif en \( (6, 2) \).
Exercice 2
\( f(x, y) = x^3 - 12x + y^3 + 3y^2 - 9y \)
Afficher la réponse
Les points critiques sont \( (2, 1), (2, -3), (-2, 1), (-2, -3) \) :
- Minimum relatif en \( (2, 1) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = 12 > 0 \))
- Maximum relatif en \( (-2, -3) \) (\( D = 144 > 0, f_{xx} = -12 < 0 \))
- Points selles en \( (2, -3) \) et \( (-2, 1) \) (\( D = -144 < 0 \))