Introduction à la règle de dérivation en chaîne multivariable
Lorsqu'on étudie une fonction à plusieurs variables dont les variables internes sont elles-mêmes des fonctions d'un ou de plusieurs paramètres indépendants, la règle de dérivation en chaîne multivariable nous permet de calculer la dérivée de la fonction composée par rapport à ces paramètres.
Paramètre indépendant unique
Soit une fonction \( f(x, y, z) \) où \( x \), \( y \) et \( z \) sont toutes des fonctions d'une seule variable \( t \), la dérivée totale de \( f \) par rapport à \( t \) se calcule en faisant la somme des produits des dérivées partielles de \( f \) et des dérivées ordinaires des variables internes :
\[ \dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]Paramètres indépendants multiples (Règle de chaîne étendue)
Si une fonction \( f(x, y) \) possède des variables internes \( x \) et \( y \) qui sont des fonctions de plusieurs paramètres, tels que \( t \) et \( r \), nous utilisons la règle de chaîne étendue pour trouver les dérivées partielles de \( f \) par rapport à chaque paramètre :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \]Exemples d'utilisation de la règle de dérivation en chaîne multivariable
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Exemple 1
\( U \) est une fonction de \( x \), \( y \) et \( z \) donnée par :
\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]\( x \), \( y \) et \( z \) sont des fonctions de \( t \) :
\[ x = 2t^2 + t, \quad y = 2 + \ln(t), \quad z = t - 2 \]Trouvez \(\dfrac{dU}{dt}\).
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Nous posons d'abord la règle de dérivation en chaîne multivariable pour trouver \(\dfrac{dU}{dt}\) :
\[ \dfrac{dU}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]Nous calculons ensuite chaque terme de la formule ci-dessus (Remarque : la dérivée de \(-z^{-1}\) est \(+z^{-2}\)) :
\[ \dfrac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial z} = \frac{1}{z^2} \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 4t + 1, \quad \dfrac{dy}{dt} = \frac{1}{t}, \quad \dfrac{dz}{dt} = 1 \]Substituons ces expressions dans la formule de la règle de chaîne :
\[ \dfrac{dU}{dt} = \left(y e^{xy}\right) (4t + 1) + \left(x e^{xy}\right) \left(\frac{1}{t}\right) + \left(\frac{1}{z^2}\right) (1) \]Mettons \(e^{xy}\) en facteur et remplaçons \(x\), \(y\) et \(z\) par leurs fonctions de \(t\) :
\[ = \left(4ty + y + \frac{x}{t}\right)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]Développons les termes à l'intérieur des parenthèses pour trouver le résultat final :
\[ = (4t\ln(t) + \ln(t) + 10t + 3)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]Exemple 2
\( W \) est une fonction de \( x \) et \( y \) donnée par :
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]\( x \) et \( y \) sont des fonctions de \( r \) et \( \theta \) données par :
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]Trouvez \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\) et \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\) avec \( r \ge 0 \) et \( 0 \le \theta \le 2\pi \).
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Nous utilisons la règle de dérivation en chaîne multivariable étendue pour trouver les deux dérivées partielles :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \]Calculons tous les composants individuels :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]Substituons et simplifions pour trouver \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\) :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) \]Puisque \(x = r \cos(\theta)\), \(y = r \sin(\theta)\) et \(\sqrt{x^2+y^2} = r\), cela devient :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{r \cos(\theta)}{r} \cos(\theta) + \frac{r \sin(\theta)}{r} \sin(\theta) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \]Substituons et simplifions pour trouver \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\) :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (-r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{r \cos(\theta)}{r} (-r \sin(\theta)) + \frac{r \sin(\theta)}{r} (r \cos(\theta)) = -r\cos(\theta)\sin(\theta) + r\cos(\theta)\sin(\theta) = 0 \]Remarque : Tout ce qui précède aurait pu être fait beaucoup plus rapidement en substituant d'abord \(x\) et \(y\) directement dans \(W\) :
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \]Ce qui donne facilement \(\dfrac{\partial W}{\partial r} = 1\) et \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta} = 0\). Cet exemple sert à vérifier que la règle de dérivation en chaîne concorde avec la substitution directe.
Exemple 3
\( W \) est une fonction de \( x \) et \( y \) donnée par :
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]\( x \) et \( y \) sont des fonctions de \( u \) et \( v \) données par :
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]Trouvez \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\) et \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\).
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La règle de dérivation en chaîne multivariable étendue pour \(u\) et \(v\) est :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v} \]Calculons les dérivées partielles nécessaires :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2u \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial y}{\partial u} = 1 \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1 \]Substituons les termes pour trouver \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\) :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]Substituons les termes pour trouver \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\) :
\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]Exemple 4
Le volume d'un pavé droit de dimensions \( L \), \( W \) et \( H \) est donné par la formule :
\[ V = LWH \]Trouvez le taux (en \(\text{cm}^3/\text{s}\)) auquel le volume \( V \) varie lorsque la longueur \( L = 50\text{ cm} \) augmente de \( 0.2\text{ cm/s} \), la largeur \( W = 40\text{ cm} \) augmente de \( 0.1\text{ cm/s} \) et la hauteur \( H = 30\text{ cm} \) diminue de \( 0.1\text{ cm/s} \).
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Les dimensions \( L \), \( W \) et \( H \) varient par rapport au temps \( t \), par conséquent le volume \( V \) varie également avec le temps. La règle de dérivation en chaîne est utilisée pour trouver \(\dfrac{dV}{dt}\) :
\[ \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\partial V}{\partial L}\dfrac{dL}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial W}\dfrac{dW}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial H}\dfrac{dH}{dt} \]Calculons les dérivées partielles et identifions les taux de variation :
\[ \dfrac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \dfrac{dL}{dt} = 0.2 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \dfrac{dW}{dt} = 0.1 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \dfrac{dH}{dt} = -0.1 \]Évaluons \(\dfrac{dV}{dt}\) en utilisant les valeurs instantanées données (\(L=50\), \(W=40\), \(H=30\)) :
\[ \dfrac{dV}{dt} = (40)(30)(0.2) + (50)(30)(0.1) + (50)(40)(-0.1) \] \[ \dfrac{dV}{dt} = 240 + 150 - 200 = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]Exemple 5
La résistance équivalente \( R \) de deux résistances en parallèle de résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) est donnée par :
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]Les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) varient avec la température \( T \) selon les formules suivantes :
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]où \( R_{10} \), \( R_{20} \), \( \alpha \), \( \beta \) et \( T_0 \) sont des constantes. Trouvez le taux de variation \(\dfrac{dR}{dT}\).
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\(\dfrac{dR}{dT}\) est donné par la règle de dérivation en chaîne comme suit :
\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{\partial R}{\partial R_1}\dfrac{dR_1}{dT} + \dfrac{\partial R}{\partial R_2}\dfrac{dR_2}{dT} \]À l'aide de la règle du quotient, calculons les dérivées partielles de \(R\), puis trouvons les dérivées de \(R_1\) et \(R_2\) par rapport à \(T\) :
\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \] \[ \dfrac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]Substituons ces termes dans l'équation de la règle de dérivation en chaîne :
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{10} \alpha) + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{20} \beta) \]Réduisons au même dénominateur pour obtenir une seule fraction :
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]