Définition des dérivées partielles
Soit \( f(x, y) \) une fonction de deux variables. Si nous maintenons \( y \) constant et que nous dérions \( f \) (en supposant que \( f \) est dérivable) par rapport à la variable \( x \), en utilisant les règles et formules standard de dérivation, nous obtenons la dérivée partielle de \( f \) par rapport à \( x \), notée :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \quad \text{ou} \quad f_x \]De même, si nous maintenons \( x \) constant et que nous dérions \( f \) par rapport à la variable \( y \), nous obtenons la dérivée partielle de \( f \) par rapport à \( y \), notée :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} \quad \text{ou} \quad f_y \]Nous pouvons également définir les dérivées partielles à l'aide des limites de la manière suivante :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \]et
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} \]Exemples avec solutions détaillées
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée étape par étape.
Exemple 1
Trouvez les dérivées partielles \( f_x \) et \( f_y \) si \( f(x, y) \) est donnée par :
\[ f(x, y) = x^2 y + 2x + y \]Afficher la solution de l'exemple 1
Supposons que \( y \) est constant et dérions par rapport à \( x \) :
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial x}(y) = 2xy + 2 + 0 = 2xy + 2 \end{aligned} \]Supposons que \( x \) est constant et dérions par rapport à \( y \) :
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1 \end{aligned} \]Exemple 2
Trouvez les dérivées partielles \( f_x \) et \( f_y \) si \( f(x, y) \) est donnée par :
\[ f(x, y) = \sin(xy) + \cos(x) \]Afficher la solution de l'exemple 2
Dérions par rapport à \( x \) en supposant que \( y \) est constant (en utilisant la règle de dérivation en chaîne pour \(\sin(xy)\)) :
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x)) = y \cos(xy) - \sin(x) \end{aligned} \]Dérions par rapport à \( y \) en supposant que \( x \) est constant :
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x)) = x \cos(xy) - 0 = x \cos(xy) \end{aligned} \]Exemple 3
Trouvez \( f_x \) et \( f_y \) si \( f(x, y) \) est donnée par :
\[ f(x, y) = x e^{xy} \]Afficher la solution de l'exemple 3
Dérions par rapport à \( x \) en supposant que \( y \) est constant à l'aide de la règle du produit :
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot e^{xy} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = 1 \cdot e^{xy} + x \cdot y e^{xy} = (1 + xy) e^{xy} \end{aligned} \]Dérions par rapport à \( y \) en supposant que \( x \) est constant :
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{xy}) \\ &= x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = x \cdot x e^{xy} = x^2 e^{xy} \end{aligned} \]Exemple 4
Trouvez \( f_x \) et \( f_y \) si \( f(x, y) \) est donnée par :
\[ f(x, y) = \ln(x^2 + 2y) \]Afficher la solution de l'exemple 4
Dérions par rapport à \( x \) :
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2x}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]Dérions par rapport à \( y \) :
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]Exemple 5
Trouvez \( f_x(2, 3) \) et \( f_y(2, 3) \) si \( f(x, y) \) est donnée par :
\[ f(x, y) = y x^2 + 2y \]Afficher la solution de l'exemple 5
Nous trouvons d'abord les dérivées partielles \( f_x \) et \( f_y \) :
\[ f_x(x, y) = 2xy \] \[ f_y(x, y) = x^2 + 2 \]Substituons \( x = 2 \) et \( y = 3 \) :
\[ f_x(2, 3) = 2(2)(3) = 12 \] \[ f_y(2, 3) = 2^2 + 2 = 6 \]Exercices
Trouvez les dérivées partielles \( f_x \) et \( f_y \) pour les fonctions suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour vérifier vos réponses.
Exercice 1
\( f(x, y) = x e^{x + y} \)
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Exercice 2
\( f(x, y) = \ln(2x + yx) \)
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Remarque sur l'exercice 2
Remarque : Par les propriétés logarithmiques, \( \ln(2x + yx) = \ln(x(2 + y)) = \ln(x) + \ln(2 + y) \), ce qui rend le calcul des dérivées partielles direct.
Exercice 3
\( f(x, y) = x \sin(x - y) \)