Multiplier des Polynômes : Questions et Solutions Étape par Étape

Cette page est conçue pour aider les élèves de 9e année à maîtriser la multiplication des polynômes. Multiplier des polynômes nécessite une solide compréhension de la propriété distributive (souvent mémorisée sous le nom de FOIL pour les binômes) et des règles des exposants.

Ci-dessous, vous trouverez des questions d'entraînement allant de la simple multiplication de monômes au développement de binômes et trinômes complexes. Essayez de résoudre chaque problème par vous-même, puis ouvrez les solutions étape par étape pour vérifier votre travail et comprendre le raisonnement derrière chaque étape algébrique.

Questions d'Entraînement

  1. 1. Multipliez les polynômes suivants

    1. \( (-2)(-2x) \)
    2. \( (x)(x + 1) \)
    3. \( -x^2(-x + 1) \)
    4. \( (-4x^3 - x)(2x - 1) \)
    5. \( (-4x^3 - y)(2x - y) \)
    6. \( (-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \)
    7. \( \left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \)
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    1. Multipliez les constantes, puis ajoutez la variable :

      \[ (-2)(-2x) = 4x \]

    2. Distribuez \(x\) aux deux termes à l'intérieur de la parenthèse :

      \[ \begin{aligned} (x)(x + 1) &= x(x) + x(1) \\ &= x^2 + x \end{aligned} \]

    3. Distribuez \(-x^2\) :

      \[ \begin{aligned} -x^2(-x + 1) &= -x^2(-x) - x^2(1) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} \]

    4. Utilisez la propriété distributive (méthode FOIL) pour les deux binômes :

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - x)(2x - 1) &= -4x^3(2x - 1) - x(2x - 1) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-1) - x(2x) - x(-1) \\ &= -8x^4 + 4x^3 - 2x^2 + x \end{aligned} \]

    5. Distribuez chaque terme du premier binôme dans le second :

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - y)(2x - y) &= -4x^3(2x - y) - y(2x - y) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-y) - y(2x) - y(-y) \\ &= -8x^4 + 4x^3y - 2xy + y^2 \end{aligned} \]

    6. Distribuez chacun des trois termes du premier trinôme dans le second trinôme, puis combinez les termes semblables :

      \[ \begin{aligned} &(-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \\ &= -7x^2(2x^2 - x + 2) - 2x(2x^2 - x + 2) + 3(2x^2 - x + 2) \\ &= (-14x^4 + 7x^3 - 14x^2) + (-4x^3 + 2x^2 - 4x) + (6x^2 - 3x + 6) \\ &= -14x^4 + (7x^3 - 4x^3) + (-14x^2 + 2x^2 + 6x^2) + (-4x - 3x) + 6 \\ &= -14x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 7x + 6 \end{aligned} \]

    7. Distribuez les fractions avec précaution :

      \[ \begin{aligned} &\left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2\left(-\dfrac{1}{2}x\right) - \dfrac{1}{3}x^2(9) + 4\left(-\dfrac{1}{2}x\right) + 4(9) \\ &= \dfrac{1}{6}x^3 - 3x^2 - 2x + 36 \end{aligned} \]

  2. 2. Multipliez et Additionnez/ Soustrayez pour écrire sous forme de polynôme unique

    N'oubliez pas de suivre l'ordre des opérations : multipliez d'abord les polynômes, puis additionnez ou soustrayez les termes semblables.

    1. \( (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 \)
    2. \( -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) \)
    3. \( (-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \)
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    1. Tout d'abord, développez les binômes, puis combinez les termes restants :

      \[ \begin{aligned} (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 &= [2x(3x - 2) - 1(3x - 2)] + 3x - 9 \\ &= [6x^2 - 4x - 3x + 2] + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 7x + 2 + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 4x - 7 \end{aligned} \]

    2. Distribuez les signes négatifs et multipliez les binômes. Utilisez des crochets pour éviter les erreurs de signes :

      \[ \begin{aligned} -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) &= -2x - 2 - [2x(x - 3) - 1(x - 3)] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 6x - x + 3] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 7x + 3] \\ &= -2x - 2 - 2x^2 + 7x - 3 \\ &= -2x^2 + 5x - 5 \end{aligned} \]

    3. Développez les deux ensembles de binômes séparément, puis combinez les termes semblables :

      \[ \begin{aligned} &(-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \\ &= [-3x(y - 3) - 2(y - 3)] + [x(y - 6) - 5(y - 6)] \\ &= [-3xy + 9x - 2y + 6] + [xy - 6x - 5y + 30] \\ &= (-3xy + xy) + (9x - 6x) + (-2y - 5y) + (6 + 30) \\ &= -2xy + 3x - 7y + 36 \end{aligned} \]

  3. 3. Utilisez la multiplication de polynômes pour développer ce qui suit

    1. \( (x + 3y)^2 \)
    2. \( (2x - y)^2 \)
    3. \( (x - y)(x + y) \)
    4. \( (x - 3)^3 \)
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    1. Écrivez le carré comme une multiplication de deux binômes identiques (ou utilisez la formule du carré parfait) :

      \[ \begin{aligned} (x + 3y)^2 &= (x + 3y)(x + 3y) \\ &= x(x + 3y) + 3y(x + 3y) \\ &= x^2 + 3xy + 3xy + 9y^2 \\ &= x^2 + 6xy + 9y^2 \end{aligned} \]

    2. Développez le binôme au carré parfait :

      \[ \begin{aligned} (2x - y)^2 &= (2x - y)(2x - y) \\ &= 2x(2x - y) - y(2x - y) \\ &= 4x^2 - 2xy - 2yx + y^2 \\ &= 4x^2 - 4xy + y^2 \end{aligned} \]

    3. Il s'agit d'une différence de carrés :

      \[ \begin{aligned} (x - y)(x + y) &= x(x + y) - y(x + y) \\ &= x^2 + xy - yx - y^2 \\ &= x^2 - y^2 \end{aligned} \]

    4. Pour un cube, multipliez trois fois. Groupez d'abord deux d'entre eux :

      \[ \begin{aligned} (x - 3)^3 &= (x - 3)(x - 3)(x - 3) \\ &= (x - 3)[x(x - 3) - 3(x - 3)] \\ &= (x - 3)[x^2 - 3x - 3x + 9] \\ &= (x - 3)(x^2 - 6x + 9) \end{aligned} \]

      Maintenant, multipliez le binôme par le trinôme obtenu :

      \[ \begin{aligned} (x - 3)(x^2 - 6x + 9) &= x(x^2 - 6x + 9) - 3(x^2 - 6x + 9) \\ &= (x^3 - 6x^2 + 9x) + (-3x^2 + 18x - 27) \\ &= x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \end{aligned} \]

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