Ordnung und Linearität von Differentialgleichungen
In diesem Tutorial wird erklärt, wie man die Ordnung und Linearität einer Differentialgleichung bestimmt, mit ausgearbeiteten Beispielen und Übungen. Siehe auch die Einführung in Differentialgleichungen.
Ordnung einer Differentialgleichung
Die Ordnung einer Differentialgleichung ist definiert als die höchste in der Gleichung vorkommende Ableitung.
Beispiel 1
Geben Sie die Ordnung jeder Differentialgleichung an:
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x y^2 = 2x \\ 2)&\ \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + y = 0 \\ 3)&\ 10y'' - y = e^x \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - x\frac{dy}{dx} + (1-x)y = \sin x \end{aligned} \]Lösung
- 1. Höchste Ableitung ist \(dy/dx\) → Ordnung 1.
- 2. Höchste Ableitung ist \(d^2y/dx^2\) → Ordnung 2.
- 3. Höchste Ableitung ist \(y''\) → Ordnung 2.
- 4. Höchste Ableitung ist \(d^3y/dx^3\) → Ordnung 3.
Linearität einer Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn:
- \(y\) und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen.
- Keine Produkte von \(y\) mit sich selbst oder ihren Ableitungen.
- Keine Funktionen von \(y\) wie \(\sin y\), \(\ln y\) oder \(y^2\).
- Koeffizienten hängen nur von \(x\) ab.
Beispiel 2
Bestimmen Sie, welche Gleichungen linear sind:
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x^2y = x \\ 2)&\ \frac{1}{x}\frac{d^2y}{dx^2} - y^3 = 3x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \ln y = 0 \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - 2\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 2\sin x \end{aligned} \]Lösung
- 1. Linear.
- 2. Nicht linear (enthält \(y^3\)).
- 3. Nicht linear (enthält \(\ln y\)).
- 4. Linear.
Standardformen
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]Übungen
Bestimmen Sie die Ordnung und Linearität jeder Gleichung:
\[ \begin{aligned} 1)&\ \left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^4 + 2\frac{dy}{dx} = \sin x \\ 2)&\ \frac{dy}{dx} - 2xy = x^2 - x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \sin y = -x \\ 4)&\ \frac{d^2y}{dx^2} = 2xy \end{aligned} \]Antworten
- 1. Ordnung 3, nicht-linear.
- 2. Ordnung 1, linear.
- 3. Ordnung 1, nicht-linear.
- 4. Ordnung 2, linear.