Dieses Tutorial erklärt, wie man die Ordnung und Linearität einer Differentialgleichung bestimmt, mit durchgerechneten Beispielen und Übungen. Siehe auch die Einführung zu Differentialgleichungen.
Ordnung einer Differentialgleichung
Die Ordnung einer Differentialgleichung ist als die höchste in der Gleichung vorkommende Ableitung definiert.
Beispiel 1: Bestimmung der Ordnung
Geben Sie die Ordnung jeder Differentialgleichung an:
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x y^2 = 2x \\ 2)&\ \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + y = 0 \\ 3)&\ 10y'' - y = e^x \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - x\frac{dy}{dx} + (1-x)y = \sin x \end{aligned} \]Lösung:
- 1. Höchste Ableitung ist \(dy/dx\) → Ordnung 1.
- 2. Höchste Ableitung ist \(d^2y/dx^2\) → Ordnung 2.
- 3. Höchste Ableitung ist \(y''\) → Ordnung 2.
- 4. Höchste Ableitung ist \(d^3y/dx^3\) → Ordnung 3.
Linearität einer Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung wird als linear bezeichnet, wenn:
- \(y\) und seine Ableitungen nur in erster Potenz vorkommen.
- Keine Produkte von \(y\) mit sich selbst oder seinen Ableitungen auftreten.
- Keine Funktionen von \(y\) wie \(\sin y\), \(\ln y\) oder \(y^2\) vorhanden sind.
- Die Koeffizienten nur von \(x\) abhängen.
Beispiel 2: Bestimmung der Linearität
Bestimmen Sie, welche Gleichungen linear sind:
\[ \begin{aligned} 1)&\ \frac{dy}{dx} + x^2y = x \\ 2)&\ \frac{1}{x}\frac{d^2y}{dx^2} - y^3 = 3x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \ln y = 0 \\ 4)&\ \frac{d^3y}{dx^3} - 2\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 2\sin x \end{aligned} \]Lösung:
- 1. Linear.
- 2. Nicht linear (enthält \(y^3\)).
- 3. Nicht linear (enthält \(\ln y\)).
- 4. Linear.
Standardformen
Lineare Gleichung erster Ordnung
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]Lineare Gleichung zweiter Ordnung
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]Übungen und Antworten
Übungsaufgaben & Lösungen
Bestimmen Sie die Ordnung und Linearität jeder Gleichung:
\[ \begin{aligned} 1)&\ \left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^4 + 2\frac{dy}{dx} = \sin x \\ 2)&\ \frac{dy}{dx} - 2xy = x^2 - x \\ 3)&\ \frac{dy}{dx} - \sin y = -x \\ 4)&\ \frac{d^2y}{dx^2} = 2xy \end{aligned} \]Antworten:
- 1. Ordnung 3, nicht linear.
- 2. Ordnung 1, linear.
- 3. Ordnung 1, nicht linear.
- 4. Ordnung 2, linear.