Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Diese Seite führt in Differentialgleichungen zweiter Ordnung ein, mit Schwerpunkt auf ihrer allgemeinen Form und auf homogenen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Diese Gleichungen treten häufig in der Physik, im Ingenieurwesen und in der angewandten Mathematik auf.
Allgemeine Form
Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung kann geschrieben werden als
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]Wenn \(R(x)\neq 0\) ist, nennt man die Gleichung inhomogen.
Wenn \(R(x)=0\) ist, wird die Gleichung zu
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]und wird als lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet.
Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
Wenn \(y_1(x)\) und \(y_2(x)\) zwei linear unabhängige Lösungen von
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]sind, dann ist die allgemeine Lösung
\[ y(x)=Ay_1(x)+By_2(x) \]wobei \(A\) und \(B\) Konstanten sind.
Zwei Funktionen sind linear unabhängig, wenn keine ein konstantes Vielfaches der anderen ist.
Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten haben die Form
\[ \frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0 \]wobei \(b\) und \(c\) Konstanten sind.
Wir suchen Lösungen der Form
\[ y=e^{kx} \]Dann ist
\[ \frac{dy}{dx}=ke^{kx}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2}=k^2e^{kx} \]Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt
\[ k^2e^{kx}+bke^{kx}+ce^{kx}=0 \]Ausklammern von \(e^{kx}\),
\[ e^{kx}(k^2+bk+c)=0 \]Da \(e^{kx}\neq 0\) ist, erhalten wir die charakteristische (Hilfs-)Gleichung
\[ k^2+bk+c=0 \]Die Wurzeln sind
\[ k_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2} \]Sei \(D=b^2-4c\). Es ergeben sich drei Fälle:
- D > 0: zwei verschiedene reelle Wurzeln
- D = 0: eine wiederholte reelle Wurzel
- D < 0: komplex konjugierte Wurzeln
Jeder Fall führt zu einer anderen Form der allgemeinen Lösung.
Siehe durchgerechnete Beispiele hier: