Diese Seite führt in Differentialgleichungen zweiter Ordnung ein und konzentriert sich dabei auf deren allgemeine Form sowie auf homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Diese Gleichungen treten häufig in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und der angewandten Mathematik auf.
Allgemeine Form
Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung lässt sich schreiben als:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]Wenn \( R(x) \neq 0 \) ist, wird die Gleichung als inhomogen bezeichnet.
Wenn \( R(x) = 0 \) ist, nimmt die Gleichung folgende Form an:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]und wird als lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet.
Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
Wenn \( y_1(x) \) und \( y_2(x) \) zwei linear unabhängige Lösungen von:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]sind, lautet die allgemeine Lösung:
wobei \( A \) und \( B \) willkürliche Konstanten sind.
Hinweis: Zwei Funktionen sind linear unabhängig, wenn keine von ihnen ein konstantes Vielfaches der anderen ist.
Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten haben die Form:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \]wobei \( b \) und \( c \) Konstanten sind.
Wir suchen Lösungen der Form \( y = e^{kx} \). Dann gilt:
\[ \frac{dy}{dx} = ke^{kx}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = k^2e^{kx} \]Das Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
\[ k^2e^{kx} + bke^{kx} + ce^{kx} = 0 \]Ausklammern von \( e^{kx} \):
\[ e^{kx}(k^2 + bk + c) = 0 \]Da \( e^{kx} \neq 0 \) ist, erhalten wir die charakteristische (Hilfs-)Gleichung:
Die Wurzeln werden durch die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) gegeben:
\[ k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2} \]Sei \( D = b^2 - 4c \) die Diskriminante. Es ergeben sich drei Fälle:
- \( D > 0 \): zwei verschiedene reelle Wurzeln
- \( D = 0 \): eine mehrfache (doppelte) reelle Wurzel
- \( D < 0 \): komplex konjugierte Wurzeln
Jeder Fall führt zu einer anderen Form der allgemeinen Lösung.
Durchgerechnete Beispiele & Literaturhinweise
Entdecken Sie Schritt-für-Schritt durchgerechnete Beispiele für jeden Fall:
- Verschiedene reelle Wurzeln (\( D > 0 \))
- Mehrfache Wurzeln (\( D = 0 \))
- Komplexe Wurzeln (\( D < 0 \))