Einfache Differentialgleichungen lösen
In diesem Tutorial wird erklärt, wie man einfache Differentialgleichungen erster Ordnung der Form löst
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]Diese Gleichungen werden gelöst, indem man beide Seiten in Bezug auf \(x\) integriert. Die Konstante \(C\) steht für die Integrationskonstante.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Lösen Sie:
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]Lösung
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \] \[ y = x^2 + x + C \]Durch Ableitung können Sie überprüfen, dass dies der ursprünglichen Gleichung genügt.
Beispiel 2
Lösen Sie:
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]Lösung
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \] \[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \] Sei \(u = 2x\), also \(du = 2dx\): \[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \] \[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]Beispiel 3
Lösen Sie:
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]Lösung
Multiplizieren Sie beide Seiten mit \(e^x\), vereinfachen Sie und schreiben Sie um als: \[ y' = -e^{3x} \] Integrieren: \[ y = \int -e^{3x}\,dx \] Sei \(u=3x\), \(du=3dx\): \[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \] \[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]Übungsaufgaben
Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
a) \(2\frac{dy}{dx} = 6x\)
b) \(y'\cos(x)=\sin(2x)\)
c) \(y'e^x=e^{3x}\)
Lösungen
a) \(y=\frac{3}{2}x^2+C\)
b) \(y=-2\cos(x)+C\)
c) \(y=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)
Weiterführende Links
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