Dieses Tutorial erklärt, wie man einfache Differentialgleichungen erster Ordnung der folgenden Form löst:
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]Diese Gleichungen werden gelöst, indem beide Seiten nach \( x \) integriert werden. Die Konstante \( C \) stellt die Integrationskonstante dar.
Durchgerechnete Beispiele
Schritt-für-Schritt gelöste Beispiele
Beispiel 1
Lösen Sie:
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]Lösung:
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \] \[ y = x^2 + x + C \]Sie können durch Differenzieren überprüfen, ob dies die ursprüngliche Gleichung erfüllt.
Beispiel 2
Lösen Sie:
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]Lösung:
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \] \[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \]Sei \( u = 2x \), also \( du = 2dx \implies dx = \frac{1}{2}du \):
\[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \] \[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]Beispiel 3
Lösen Sie:
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]Lösung:
Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( e^x \), vereinfachen Sie und schreiben Sie um als:
\[ y' = -e^{3x} \]Integrieren:
\[ y = \int -e^{3x}\,dx \]Sei \( u = 3x \), \( du = 3dx \):
\[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \] \[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]Übungsaufgaben und Antworten
Übungsaufgaben & Lösungen
Lösen Sie die folgenden Aufgaben:
- \( 2\dfrac{dy}{dx} = 6x \)
- \( y'\cos(x) = \sin(2x) \)
- \( y'e^x = e^{3x} \)
Antworten:
- \( y = \dfrac{3}{2}x^2 + C \)
- \( y = -2\cos(x) + C \)
- \( y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \)