Fragen zur Differenzierbarkeit von Funktionen mit Schwerpunkt auf abschnittsweise definierten Funktionen werden zusammen mit ihren Antworten vorgestellt.
Grafische Bedeutung der Nicht-Differenzierbarkeit
Welche Funktionen sind nicht differenzierbar?
Sei \( f \) eine Funktion, deren Graph \( G \) ist. Aus der Definition ist der Wert der Ableitung einer Funktion \( f \) an einem bestimmten x-Wert gleich der Steigung der Tangente an den Graphen \( G \). Wir können sagen, dass \( f \) für jeden x-Wert nicht differenzierbar ist, an dem keine Tangente existiert oder an dem eine Tangente existiert, die jedoch senkrecht verläuft (eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung und folglich eine undefinierte Ableitung).
Unten sind Graphen von Funktionen abgebildet, die aus verschiedenen Gründen bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar sind:
Beispiel 1: Scharfe Ecke (Keine Tangente)
Funktion \( f \) unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, da es bei \( x = 0 \) keine eindeutige Tangente an den Graphen gibt (versuchen Sie, bei \( x = 0 \) eine Tangente zu zeichnen!).
Beispiel 2: Kuspe / Spitze
Funktion \( g \) unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, da es bei \( x = 0 \) keine Tangente an den Graphen gibt.
Beispiel 3: Sprungstelle
Funktion \( h \) unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, da es einen Sprung im Funktionswert gibt und die Funktion bei \( x = 0 \) nicht stetig ist.
Beispiel 4: Senkrechte Asymptote
Funktion \( j \) unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, weil sie auf beiden Seiten von \( x = 0 \) unbegrenzt wächst (kein Grenzwert) und laut ihrer Funktionsgleichung bei \( x = 0 \) undefiniert und somit unstetig ist.
Beispiel 5: Senkrechte Tangente
Funktion \( k \) unten ist nicht differenzierbar, da die Tangente bei \( x = 0 \) senkrecht verläuft und folglich ihre Steigung (der Wert der Ableitung bei \( x = 0 \)) undefiniert ist.
Satz
Satz: Wenn eine Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) differenzierbar ist, dann ist sie an der Stelle \( x = a \) stetig.
Kontraposition des Satzes: Wenn die Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) nicht stetig ist, dann ist sie an der Stelle \( x = a \) nicht differenzierbar.
Häufige Fehler, die vermieden werden sollten: Wenn \( f \) an der Stelle \( x = a \) stetig ist, bedeutet das nicht notwendigerweise, dass \( f \) an der Stelle \( x = a \) differenzierbar ist.
HINWEIS: Obwohl die Funktionen \( f \), \( g \) und \( k \) (deren Graphen oben gezeigt sind) überall stetig sind, sind sie bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar.
Beispiele mit Lösungen
Analytische Beweise der Nicht-Differenzierbarkeit
Beispiel 1: Nicht-Differenzierbarkeit einer abschnittsweise definierten Funktion
Aufgabe: Zeigen Sie analytisch, dass die unten definierte Funktion \( f \) bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar ist:
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 0 \\ -x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]Lösung:
Eine Möglichkeit zur Beantwortung der Frage besteht darin, die Ableitung bei \( x = 0 \) mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten zu berechnen. Da die Funktion \( f \) durch verschiedene Formeln definiert ist, müssen wir die Ableitung über links- und rechtsseitige Grenzwerte bestimmen:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]Links von \( x = 0 \) (\( x < 0 \)) wird die Ableitung wie folgt berechnet:
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{-}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1 \]Rechts von \( x = 0 \) (\( x > 0 \)) wird die Ableitung wie folgt berechnet:
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{+}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} h = 0 \]Die Grenzwerte links und rechts von \( x = 0 \) stimmen nicht überein (\(-1 \neq 0\)), weshalb \( f'(0) \) undefiniert ist. Folglich ist die Funktion \( f \) bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar.
Der Graph der Funktion \( f \) ist unten dargestellt, woraus ersichtlich ist, dass bei \( x = 0 \) keine eindeutige Tangente gezeichnet werden kann: