Nicht differenzierbare Funktionen
Fragen zur Differenzierbarkeit von Funktionen mit Schwerpunkt auf abschnittsweise definierten Funktionen werden zusammen mit ihren Antworten vorgestellt.
Graphische Bedeutung der Nicht-Differenzierbarkeit.
Welche Funktionen sind nicht differenzierbar?
Sei f eine Funktion, deren Graph G ist. Aus der Definition folgt, dass der Wert der Ableitung einer Funktion f an einem
bestimmten Wert von x gleich der Steigung der Tangente an den Graphen G ist. Wir können sagen, dass f für jeden Wert von x nicht differenzierbar ist, an dem eine Tangente nicht 'existieren' kann oder die Tangente zwar existiert, aber vertikal ist (eine vertikale Linie hat eine undefinierte Steigung, daher eine undefinierte Ableitung).
Unten sind Graphen von Funktionen dargestellt, die aus verschiedenen Gründen bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar sind.
Funktion f unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, weil es keine Tangente an den Graphen bei \( x = 0 \) gibt. (Versuchen Sie, eine Tangente bei x=0 zu zeichnen!)
Funktion g unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, weil es keine Tangente an den Graphen bei \( x = 0 \) gibt. (Versuchen Sie, eine Tangente bei x=0 zu zeichnen!)
Funktion h unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, weil es einen Sprung im Wert der Funktion gibt und die Funktion außerdem nicht definiert und daher bei \( x = 0 \) nicht stetig ist.
Funktion j unten ist bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar, weil sie auf beiden Seiten von \( x = 0 \) unbegrenzt zunimmt (kein Grenzwert) und aufgrund ihrer Formel bei \( x = 0 \) nicht definiert ist und daher bei \( x=0 \) nicht stetig ist.
Funktion k unten ist nicht differenzierbar, weil die Tangente bei \( x = 0 \) vertikal ist und daher ihre Steigung, die den Wert der Ableitung bei \( x =0 \) darstellt, undefiniert ist.
Theorem
Theorem: Wenn eine Funktion f bei \( x = a \) differenzierbar ist, dann ist sie bei \( x = a \) stetig.
Kontraposition des obigen Theorems: Wenn die Funktion f bei \( x = a \) nicht stetig ist, dann ist sie bei \( x = a \) nicht differenzierbar.
Häufige Fehler, die vermieden werden sollten: Wenn f bei \( x = a \) stetig ist, dann ist f bei \( x = a \) differenzierbar.
HINWEIS: Obwohl die Funktionen f, g und k (deren Graphen oben gezeigt werden) überall stetig sind, sind sie bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar.
Beispiele mit Lösungen
Analytische Beweise der Nicht-Differenzierbarkeit
Beispiel 1: Zeigen Sie analytisch, dass die unten definierte Funktion f bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar ist.
\( f(x) = \begin{cases}
x^2 & x > 0 \\
- x & x < 0 \\
0 & x = 0
\end{cases}
\)
Lösung zu Beispiel 1
Eine Möglichkeit, die obige Frage zu beantworten, besteht darin, die Ableitung bei \( x = 0 \) zu berechnen. Wir beginnen damit, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu finden. Da die Funktion f mit verschiedenen Formeln definiert ist, müssen wir die Ableitung bei \( x = 0 \) mithilfe der links- und rechtsseitigen Grenzwerte finden.
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
Links von \( x = 0 \) (\( x \lt 0 \)) wird die Ableitung wie folgt berechnet
\( f'(0) = \lim_{h\to 0^-} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{ -h - 0}{h} = -1 \)
Rechts von \( x = 0 \) (\( x > 0 \)) wird die Ableitung wie folgt berechnet
\( f'(0) = \lim_{h\to 0^+} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h = 0 \)
Die Grenzwerte links und rechts von \( x = 0 \) sind nicht gleich, daher ist \( f'(0) \) undefiniert und folglich ist die Funktion \( f \) bei \( x = 0 \) nicht differenzierbar.
Der Graph der in diesem Beispiel gelösten Funktion \( f \) ist unten dargestellt, und es ist leicht zu erkennen, dass bei \( x = 0 \) keine Tangente gezeichnet werden kann und daher \( f \) bei x = 0 nicht differenzierbar ist.
Weitere Referenzen und Links
Stetige Funktionen in der Analysis
Stetigkeitssätze und ihre Anwendung in der Analysis
Fragen zur Stetigkeit mit Lösungen
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