Wie man die Grenzwerte von Betragsfunktionen findet; mehrere Beispiele und detaillierte Lösungen werden zusammen mit grafischen Interpretationen vorgestellt. Eine Reihe von Übungsaufgaben mit Antworten befindet sich am Ende der Seite.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Aufgaben mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jede Aufgabe, um deren detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Aufgabe 1
Berechnen Sie den Grenzwert: \( \displaystyle \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} \)
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Die Schritte zum Finden des Grenzwerts sind:
\[ \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{-1}{|-1|} = \dfrac{-1}{1} = -1 \]Aufgabe 2
Werten Sie den Grenzwert aus: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} \)
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Die Schritte zum Finden des Grenzwerts sind:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{1}{|1|} = 1 \]Aufgabe 3
Berechnen Sie den Grenzwert: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \)
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Erinnern Sie sich daran, dass:
\( |x| = x \) für \( x \ge 0 \) und \( |x| = -x \) für \( x < 0 \)
Berechnen wir den Grenzwert von links von \( x = 0 \), wo \( x < 0 \) und daher \( |x| = -x \) ist:
\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1 \]Berechnen wir den Grenzwert von rechts von \( x = 0 \), wo \( x > 0 \) und daher \( |x| = x \) ist:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 \]Die Grenzwerte von links und von rechts von \( x = 0 \) sind nicht gleich, daher:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \quad \text{existiert nicht} \]Der Graph von \( f(x) = \dfrac{x}{|x|} \) ist unten dargestellt und veranschaulicht, dass die Grenzwerte von links und rechts bei 0 nicht gleich sind.
Aufgabe 4
Werten Sie den Grenzwert aus: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} \)
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Wenn sich \( x \) unbegrenzt vergrößert, ist \( x > 0 \) und daher \( |x| = x \). Folglich:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]Aufgabe 5
Berechnen Sie den Grenzwert: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} \)
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Wenn sich \( x \) unbegrenzt verkleinert, ist \( x < 0 \) und daher \( |x| = -x \). Folglich:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 \]Aufgabe 6
Existiert der Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \)?
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Berechnen wir den Grenzwert von links von \( -2 \) (wobei \( x \le -2 \)) und von rechts von \( -2 \) (wobei \( x \ge -2 \)) getrennt.
Erinnern Sie sich daran, dass:
Wenn \( x + 2 \ge 0 \) bzw. \( x \ge -2 \) ist, dann ist \( |x + 2| = x + 2 \).
Wenn \( x + 2 \le 0 \) bzw. \( x \le -2 \) ist, dann ist \( |x + 2| = -(x + 2) \).
Berechnen wir den Grenzwert von links von \( x = -2 \):
\[ \lim_{x \to -2^-} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{-(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (-1) = -1 \]Berechnen wir den Grenzwert von rechts von \( x = -2 \):
\[ \lim_{x \to -2^+} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \dfrac{x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} 1 = 1 \]Die Grenzwerte von links und von rechts von \( x = -2 \) sind nicht gleich, daher:
\[ \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \quad \text{existiert nicht} \]Aufgabe 7
Berechnen Sie den Grenzwert: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \)
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Bei \( x = 1 \) sind sowohl Zähler als auch Nenner gleich Null, sodass sie einen gemeinsamen Faktor von \( x - 1 \) haben. Faktorisieren des Zählers:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{|x - 1|} \]Erinnern Sie sich daran, dass \( |x - 1| = x - 1 \) für \( x \ge 1 \) und \( |x - 1| = -(x - 1) \) für \( x \le 1 \) gilt.
Grenzwert von links von \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]Grenzwert von rechts von \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4 \]Die Grenzwerte von links und von rechts sind nicht gleich, daher:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \quad \text{existiert nicht} \]Der Graph von \( f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \) ist unten dargestellt und zeigt deutlich, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert bei 1 nicht gleich sind.
Aufgabe 8
Werten Sie den Grenzwert aus: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
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Wenn sich \( x \) unbegrenzt vergrößert, vergrößert sich auch \( x + 2 \) unbegrenzt und daher ist \( x + 2 \ge 0 \), folglich:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{x + 2} = +\infty \]Aufgabe 9
Berechnen Sie den Grenzwert: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
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Wenn sich \( x \) unbegrenzt verkleinert, verkleinert sich auch \( x + 2 \) unbegrenzt und daher ist \( x + 2 \le 0 \), folglich:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{-(x + 2)} = +\infty \]Der Graph von \( f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \) ist unten dargestellt und veranschaulicht, dass \( y = f(x) \) unbegrenzt wächst, wenn sich \( x \) unbegrenzt vergrößert oder verkleinert.
Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Klicken Sie auf jede Übung, um Ihre Antworten zu überprüfen.
Übung 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{|x|} \)
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Übung 2
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^-} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
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Übung 3
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^+} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
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Übung 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} \)