Der Einschnürungssatz, auch Sandwich-Satz genannt, wird zum Finden von Grenzwerten verwendet.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Einschnürungssatz
Wenn \( f \), \( g \) und \( h \) Funktionen sind, so dass:
\[ f(x) \le g(x) \le h(x) \]für alle Werte von \( x \) in einem offenen Intervall, das \( a \) enthält (mit Ausnahme möglicherweise von \( a \)), und wenn:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]dann gilt:
\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]Beispiele mit Lösungen
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Beispiel 1
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \]Lösung für Beispiel 1 anzeigen
Wenn sich \( x \) dem Wert \( 0 \) annähert, wird \( \dfrac{1}{x} \) dem Betrag nach sehr groß, und \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) oszilliert stark.
Jedoch nimmt \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) Werte im Intervall \([-1, 1]\) an, welches der Wertebereich der Kosinusfunktion ist. Daher gilt:
\[ -1 \le \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1 \]Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Ungleichung mit \( x^2 \) (wobei zu beachten ist, dass \( x^2 > 0 \) für \( x \neq 0 \) gilt):
\[ -x^2 \le x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2 \]Die obige Ungleichung gilt für jeden Wert von \( x \) außer \( 0 \), wo \( x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) undefiniert ist. Wenn sich \( x \) dem Wert \( 0 \) annähert, streben sowohl \( -x^2 \) als auch \( x^2 \) gegen \( 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \]Daher erhalten wir gemäß dem Einschnürungssatz:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0 \]Beispiel 2
Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \]Lösung für Beispiel 2 anzeigen
Nehmen Sie an, dass \( 0 < x < \pi/2 \) ist, und betrachten Sie den Einheitskreis sowie einen Sektor \( OAC \) mit dem Mittelpunktswinkel \( x \) in Standardlage. \( A \) ist ein Punkt auf dem Einheitskreis, und \( AB \) ist die Tangente an den Kreis im Punkt \( A \), die dort einen rechten Winkel bildet.
Punkt \( C \) ist ein Punkt auf dem Einheitskreis (Radius gleich 1) mit den Koordinaten \( (\cos x, \sin x) \). Ermitteln wir die Flächen des Dreiecks \( OAC \), des Sektors \( OAC \) und des rechtwinkligen Dreiecks \( OAB \).
Unter Verwendung der Sinusformel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:
\( \text{Fläche des Dreiecks } OAC = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \sin x \)
Unter Verwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Kreisaussektors:
\( \text{Fläche des Sektors } OAC = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot OC^2 = \dfrac{1}{2} x \)
Fläche des rechtwinkligen Dreiecks \( OAB \):
\( \text{Fläche des rechtwinkligen Dreiecks } OAB = \dfrac{1}{2} \cdot (\text{Basis}) \cdot (\text{Höhe}) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \dfrac{1}{2} \tan x \)
Durch geometrisches Vergleichen der drei Flächen können wir folgende Ungleichung aufstellen:
\[ \text{Fläche des Dreiecks } OAC < \text{Fläche des Sektors } OAC < \text{Fläche des Dreiecks } OAB \]Ersetzen Sie die Flächen durch ihre Ausdrücke:
\[ \dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( \dfrac{2}{\sin x} \) (da \( \sin x > 0 \) für \( 0 < x < \pi/2 \) gilt):
\[ 1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x} \]Kehren Sie die Brüche um und drehen Sie die Ungleichheitszeichen um:
\[ 1 > \dfrac{\sin x}{x} > \cos x \]Was äquivalent ist zu:
\[ \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 \]Es lässt sich zeigen, dass diese Ungleichung auch für \( -\pi/2 < x < 0 \) gilt, sodass die Ungleichung für alle \( x \) in einem offenen Intervall um \( 0 \) gilt, mit Ausnahme von \( x = 0 \), wo \( \dfrac{\sin x}{x} \) undefiniert ist. Da:
\[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 0} 1 = 1 \]können wir den Einschnürungssatz anwenden, um Folgendes zu erhalten:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]Dieser grundlegende Grenzwert ist essenziell für die Auswertung anderer Grenzwerte trigonometrischer Funktionen und die Berechnung ihrer Ableitungen.