Verwendung des Einschnürungssatzes zur Bestimmung von Grenzwerten

Der Einschnürungssatz, auch Sandwich-Satz genannt, wird verwendet, um Grenzwerte zu bestimmen.

Einschnürungssatz.

Wenn \( f \), \( g \) und \( h \) Funktionen sind, so dass

\[ f(x) \le g(x) \le h(x) \]

für alle Werte von \( x \) in einem offenen Intervall, das \( a \) enthält, und wenn

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]

dann gilt:

\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1:

Bestimmen Sie den Grenzwert:

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]
Lösung zu Beispiel 1:

Wenn sich \( x \) \( 0 \) nähert, wird \( 1/x \) im absoluten Wert sehr groß und \( \cos(1/x) \) wird stark oszillierend.

Jedoch nimmt \( \cos(1/x) \) Werte im Intervall \([-1, 1]\) an, dem Wertebereich von \( \cos x \). Daher gilt:

\[ -1 \le \cos\left(\frac{1}{x}\right) \le 1 \]

Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Ungleichung mit \( x^2 \) (wobei \( x \ne 0 \)):

\[ - x^2 \le x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2 \]

Die obige Ungleichung gilt für jeden Wert von x außer 0, wo \( x^2 \cos (1/x) \) nicht definiert ist. Wenn sich x 0 nähert, nähern sich sowohl -x2 als auch x2 0 und gemäß dem Einschnürungssatz erhalten wir:

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0 \]

Beispiel 2:

Bestimmen Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \]

Lösung zu Beispiel 2:
Nehmen Sie an, dass \( 0 \lt x \lt \pi / 2 \) gilt, und betrachten wir den unten gezeigten Einheitskreis und einen Sektor \( OAC \) mit dem Mittelpunktswinkel x in der Hauptlage. A ist ein Punkt auf dem Einheitskreis und AB ist die Tangente an den Kreis im Punkt A , daher an dieser Stelle ein rechter Winkel.
Geometrische Berechnung des Grenzwerts von sin x/x
Punkt C ist ein Punkt auf dem Einheitskreis mit Radius 1 und hat die Koordinaten \( (\cos x, \sin x) \). Bestimmen wir die Flächeninhalte des Dreiecks \( OAC \), des Sektors \( OAC \) und des rechtwinkligen Dreiecks \( OAB \).
Verwenden Sie die Sinusformel für die Fläche eines Dreiecks, um zu erhalten:
Fläche des Dreiecks \( OAC = (1/2) \sin x \cdot OA \cdot OC = (1/2) \sin x \cdot 1 \cdot 1 = (1/2) \sin x \)
Verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Sektors , um zu erhalten:
Fläche des Sektors \( OAC = (1/2)\cdot(x)\cdot OC^2 = (1/2) x \)
Fläche des rechtwinkligen Dreiecks \( OAB = (1/2) \cdot (Grundseite) \cdot (Höhe) = (1/2) \cdot (1) \cdot (\tan x) = (1/2) \tan x \)
Vergleicht man die drei Flächen geometrisch, so kann man die Ungleichung aufstellen: \[ \text{Fläche des Dreiecks} \; OAC \; \lt \; \text{Fläche des Sektors} \; OAC \; \lt \; \text{Fläche des Dreiecks} \; OAB \] Setzen Sie die Flächen in der obigen Ungleichung durch ihre oben erhaltenen Ausdrücke ein. \[ (1/2)(\sin x) \lt (1/2) x \lt (1/2) \tan x \] Multiplizieren Sie alle Terme mit \( \dfrac{2}{\sin x} \), ergibt: \[ 1 \lt \dfrac{x}{\sin x} \lt 1 / \cos x \] Bilden Sie den Kehrwert und kehren Sie die beiden Ungleichheitszeichen in der Doppelungleichung um: \[ 1 \gt \dfrac{\sin x} {x} \gt \cos x \] Dies ist äquivalent zu: \[ \cos x \lt \dfrac{\sin x} {x} \lt 1 \] Es kann gezeigt werden, dass die obige Ungleichung für \( -\pi/ 2 \lt x \lt 0 \) gilt, also gilt die obige Ungleichung für alle \( x \) außer \( x = 0 \), wo \( \dfrac{\sin x} {x} \) nicht definiert ist. Da \[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \] und \[ \lim_{x \to 0} 1 = 1 \] , können wir den Einschnürungssatz anwenden, um zu erhalten: \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \] Dieses Ergebnis ist sehr wichtig und wird verwendet, um andere Grenzwerte trigonometrischer Funktionen und Ableitungen zu bestimmen.

Weitere Referenzen und Links