Was ist die lineare Ausgleichsrechnung?
Seien \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_N, y_N) \) experimentelle Datenpunkte wie im Streudiagramm unten gezeigt, und angenommen, wir möchten die abhängige Variable \( y \) für verschiedene Werte der unabhängigen Variablen \( x \) mithilfe eines linearen Modells der Form vorhersagen:
\[ y = ax + b \]
Ein in der Mathematik weit verbreitetes Verfahren besteht darin, die Summe \( D \) der Quadrate der vertikalen Abstände \( d_1, d_2, \dots \) zwischen dem mathematischen Modell \( y = f(x) \) und den experimentellen Punkten zu minimieren, wie in der Abbildung unten gezeigt.
Mathematische Herleitung
Sei \( f(x) = ax + b \) das zu verwendende lineare Modell. Daher sind die vertikalen Abstände \( d_1, d_2, \dots \) gegeben durch:
\[ d_1 = |y_1 - (ax_1 + b)|, \quad d_2 = |y_2 - (ax_2 + b)|, \quad \dots \]Die Summe \( D \) der Quadrate der vertikalen Abstände lässt sich schreiben als:
\[ D = \sum_{i=1}^{N} (y_i - (ax_i + b))^2 \]Die Werte von \( a \) und \( b \), die \( D \) minimieren, sind diejenigen, bei denen die partiellen Ableitungen von \( D \) nach \( a \) und \( b \) simultan gleich 0 sind. Daher berechnen wir die partiellen Ableitungen:
\[ \dfrac{\partial D}{\partial a} = \sum_{i=1}^{N} -2x_i(y_i - ax_i - b) \] \[ \dfrac{\partial D}{\partial b} = \sum_{i=1}^{N} -2(y_i - ax_i - b) \]Wenn man beide Ableitungen gleich null setzt und durch \( -2 \) teilt, erhält man das System der Normalengleichungen:
\[ \begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_i(y_i - ax_i - b) = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} (y_i - ax_i - b) = 0 \end{cases} \]Ausmultiplizieren der Summen:
\[ \begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - a \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - b \sum_{i=1}^{N} x_i = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} y_i - a \sum_{i=1}^{N} x_i - Nb = 0 \end{cases} \]Umordnen der Terme mit \( a \) und \( b \) auf der linken Seite:
\[ \begin{cases} a \sum_{i=1}^{N} x_i^2 + b \sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ a \sum_{i=1}^{N} x_i + Nb = \sum_{i=1}^{N} y_i \end{cases} \]In Matrixform:
\[ \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \]Unter Verwendung der Formel für die inverse Matrix einer \( 2 \times 2 \)-Matrix lösen wir nach \( a \) und \( b \) auf:
\[ a = \dfrac{N \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - (\sum_{i=1}^{N} x_i)(\sum_{i=1}^{N} y_i)}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \] \[ b = \dfrac{-(\sum_{i=1}^{N} x_i)(\sum_{i=1}^{N} x_iy_i) + (\sum_{i=1}^{N} x_i^2)(\sum_{i=1}^{N} y_i)}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \]Beispiel für die Anwendung der linearen Ausgleichsrechnung
Finden Sie die lineare Ausgleichsgerade \( y = ax + b \) für die folgenden experimentellen Datenpunkte:
\[ \{(1, 2), (3, 4), (2, 6), (4, 8), (5, 12), (6, 13), (7, 15)\} \]Lösung zum Beispiel anzeigen
Erstellen Sie eine Tabelle mit den erforderlichen Größen:
| \( x_i \) | \( y_i \) | \( x_i y_i \) | \( x_i^2 \) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 1 |
| 3 | 4 | 12 | 9 |
| 2 | 6 | 12 | 4 |
| 4 | 8 | 32 | 16 |
| 5 | 12 | 60 | 25 |
| 6 | 13 | 78 | 36 |
| 7 | 15 | 105 | 49 |
Die Gesamtzahl der Punkte ist \( N = 7 \).
\( \sum_{i=1}^{7} x_i = 1 + 3 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 \)
\( \sum_{i=1}^{7} y_i = 2 + 4 + 6 + 8 + 12 + 13 + 15 = 60 \)
\( \sum_{i=1}^{7} x_iy_i = 2 + 12 + 12 + 32 + 60 + 78 + 105 = 301 \)
\( \sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 1 + 9 + 4 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140 \)
Einsetzen in die Formeln:
\[ a = \dfrac{7 \times 301 - 28 \times 60}{7 \times 140 - 28^2} = \dfrac{2107 - 1680}{980 - 784} = \dfrac{427}{196} \approx 2.1786 \] \[ b = \dfrac{-28 \times 301 + 140 \times 60}{7 \times 140 - 28^2} = \dfrac{-8428 + 8400}{196} = \dfrac{-28}{196} \approx -0.1429 \]Rechner für die lineare Ausgleichsrechnung
Ausgehend von experimentellen Punkten berechnet dieser Rechner die Koeffizienten \( a \) und \( b \), die Geradengleichung \( y = ax + b \) und den Korrelationskoeffizienten. Er zeichnet auch die experimentellen Punkte zusammen mit der Ausgleichsgeraden auf.
Geben Sie Punkte im Format \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots\) durch Kommas getrennt ein oder verwenden Sie den Standarddatensatz.
Bewegen Sie den Mauszeiger in die obere rechte Ecke des Diagramms, um das Diagramm im PNG-Format herunterzuladen.
Weitere Referenzen und Links
- Edwards, A. L. An Introduction to Linear Regression and Correlation. San Francisco, CA: W. H. Freeman.
- Partielle Ableitungen in der Analysis
- Inverse Matrix: Fragen mit Lösungen
- Tutorials und Probleme zu multivariablen Funktionen
- Lineare Regression: Probleme mit Lösungen
- Lineare Ausgleichsrechnung auf Wikipedia