Definition der partiellen Ableitungen
Sei \( f(x, y) \) eine Funktion von zwei Variablen. Wenn wir \( y \) konstant halten und \( f \) (unter der Annahme, dass \( f \) differenzierbar ist) nach der Variablen \( x \) unter Verwendung der Standardregeln und -formeln der Differenziation ableiten, erhalten wir die partielle Ableitung von \( f \) nach \( x \), bezeichnet durch:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \quad \text{or} \quad f_x \]Wenn wir analog dazu \( x \) konstant halten und \( f \) nach der Variablen \( y \) ableiten, erhalten wir die partielle Ableitung von \( f \) nach \( y \), bezeichnet durch:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} \quad \text{or} \quad f_y \]Wir können partielle Ableitungen auch mithilfe von Grenzwerten wie folgt definieren:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \]und
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} \]Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \), wenn \( f(x, y) \) gegeben ist durch:
\[ f(x, y) = x^2 y + 2x + y \]Lösung zu Beispiel 1 anzeigen
Nehmen Sie an, dass \( y \) konstant ist, und leiten Sie nach \( x \) ab:
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial x}(y) = 2xy + 2 + 0 = 2xy + 2 \end{aligned} \]Nehmen Sie an, dass \( x \) konstant ist, und leiten Sie nach \( y \) ab:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1 \end{aligned} \]Beispiel 2
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \), wenn \( f(x, y) \) gegeben ist durch:
\[ f(x, y) = \sin(xy) + \cos(x) \]Lösung zu Beispiel 2 anzeigen
Leiten Sie nach \( x \) ab unter der Annahme, dass \( y \) konstant ist (unter Verwendung der Kettenregel für \(\sin(xy)\)):
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x)) = y \cos(xy) - \sin(x) \end{aligned} \]Leiten Sie nach \( y \) ab unter der Annahme, dass \( x \) konstant ist:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x)) = x \cos(xy) - 0 = x \cos(xy) \end{aligned} \]Beispiel 3
Bestimmen Sie \( f_x \) und \( f_y \), wenn \( f(x, y) \) gegeben ist durch:
\[ f(x, y) = x e^{xy} \]Lösung zu Beispiel 3 anzeigen
Leiten Sie nach \( x \) ab unter der Annahme, dass \( y \) konstant ist, und verwenden Sie die Produktregel:
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot e^{xy} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = 1 \cdot e^{xy} + x \cdot y e^{xy} = (1 + xy) e^{xy} \end{aligned} \]Leiten Sie nach \( y \) ab unter der Annahme, dass \( x \) konstant ist:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{xy}) \\ &= x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = x \cdot x e^{xy} = x^2 e^{xy} \end{aligned} \]Beispiel 4
Bestimmen Sie \( f_x \) und \( f_y \), wenn \( f(x, y) \) gegeben ist durch:
\[ f(x, y) = \ln(x^2 + 2y) \]Lösung zu Beispiel 4 anzeigen
Leiten Sie nach \( x \) ab:
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2x}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]Leiten Sie nach \( y \) ab:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]Beispiel 5
Bestimmen Sie \( f_x(2, 3) \) und \( f_y(2, 3) \), wenn \( f(x, y) \) gegeben ist durch:
\[ f(x, y) = y x^2 + 2y \]Lösung zu Beispiel 5 anzeigen
Wir bestimmen zuerst die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = 2xy \] \[ f_y(x, y) = x^2 + 2 \]Setzen Sie \( x = 2 \) und \( y = 3 \) ein:
\[ f_x(2, 3) = 2(2)(3) = 12 \] \[ f_y(2, 3) = 2^2 + 2 = 6 \]Übungen
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \) für die folgenden Funktionen. Klicken Sie auf jede Übung, um Ihre Antworten zu überprüfen.
Übung 1
\( f(x, y) = x e^{x + y} \)
Antwort anzeigen
Übung 2
\( f(x, y) = \ln(2x + yx) \)
Antwort anzeigen
Hinweis zu Übung 2
Hinweis: Nach den Logarithmengesetzen ist \( \ln(2x + yx) = \ln(x(2 + y)) = \ln(x) + \ln(2 + y) \), wodurch die Bildung partieller Ableitungen unmittelbar erfolgt.
Übung 3
\( f(x, y) = x \sin(x - y) \)