Partielle Ableitungen
Definition partieller Ableitungen
Es sei \( f(x,y) \) eine Funktion mit zwei Variablen. Wenn wir \( y \) konstant halten und \( f \) nach der Variablen \( x \) ableiten (unter der Annahme, dass \( f \) differenzierbar ist), unter Verwendung der Regeln und Formeln der Differentiation, erhalten wir die sogenannte partielle Ableitung von \( f \) nach \( x \), die wie folgt bezeichnet wird:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} \; \text{oder} \; f_x
\]
Wenn wir analog \( x \) konstant halten und \( f \) nach der Variablen \( y \) ableiten (unter der Annahme, dass \( f \) differenzierbar ist), erhalten wir die sogenannte partielle Ableitung von \( f \) nach \( y \), die wie folgt bezeichnet wird:
\[
\frac{\partial f}{\partial y} \; \text{oder} \; f_y
\]
Wir können auch die Grenzwerte verwenden, um die partiellen Ableitungen der Funktion \( f \) zu definieren:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
\]
und
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}
\]
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Wir präsentieren nun mehrere Beispiele mit ausführlichen Lösungen zur Berechnung partieller Ableitungen.
Beispiel 1
Finden Sie die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \) von \( f(x , y) \), gegeben durch:
\[
f(x,y) = x^2 y + 2 x + y
\]
Lösung zu Beispiel 1:
Nehmen Sie an, \( y \) sei konstant, und leiten Sie nach \( x \) ab:
\[
\begin{align*}
f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2 x + y ) \\
&= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y ) + \frac{\partial}{\partial x}(2 x) + \frac{\partial}{\partial x}( y ) = 2 xy + 2 + 0 = 2xy + 2
\end{align*}
\]
Nehmen Sie an, \( x \) sei konstant, und leiten Sie nach \( y \) ab:
\[
\begin{align*}
f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2 x + y ) \\
&= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y ) + \frac{\partial}{\partial y}(2 x) + \frac{\partial}{\partial y}( y ) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1
\end{align*}
\]
Beispiel 2
Finden Sie die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \) von \( f(x , y) \), gegeben durch:
\[
f(x,y) = \sin(x y) + \cos x
\]
Lösung zu Beispiel 2:
Leiten Sie nach \( x \) ab, wobei \( y \) als konstant angenommen wird:
\[
\begin{align*}
f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(x y) + \cos x ) \\
&= \frac{\partial}{\partial x}(\sin(x y) ) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos x) = y \cos(x y) -\sin(x)
\end{align*}
\]
Leiten Sie nach \( y \) ab, wobei \( x \) als konstant angenommen wird:
\[
\begin{align*}
f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(x y) + \cos x ) \\
&= \frac{\partial}{\partial y}(\sin(x y) ) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos x) = x \cos(x y) - 0 = x \cos(x y)
\end{align*}
\]
Beispiel 3
Finden Sie \( f_x \) und \( f_y \) von \( f(x , y) \), gegeben durch:
\[
f(x,y) = x e^{x y}
\]
Lösung zu Beispiel 3:
Leiten Sie nach \( x \) ab, wobei \( y \) als konstant angenommen wird, unter Verwendung der Produktregel:
\[
\begin{align*}
f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{x y}) \\
&= \frac{\partial}{\partial x}(x) e^{x y} + x \frac{\partial}{\partial x}(e^{x y}) = 1 \cdot e^{x y} + x \cdot y e^{x y} = (1+xy) e^{x y}
\end{align*}
\]
Leiten Sie nach \( y \) ab, wobei \( x \) als konstant angenommen wird:
\[
\begin{align*}
f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{x y}) \\
&= x \frac{\partial}{\partial y}(e^{x y}) = x \cdot x e^{x y} = x^2 e^{x y}
\end{align*}
\]
Beispiel 4
Finden Sie \( f_x \) und \( f_y \) von \( f(x , y) \), gegeben durch:
\[
f(x,y) = \ln(x^2+2y)
\]
Lösung zu Beispiel 4:
Leiten Sie nach \( x \) ab:
\[
\begin{align*}
f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2+2y)) \\
&= \frac{\partial}{\partial x}(x^2+2y) \cdot \frac{1}{x^2+2y} = \frac{2x}{x^2+2y}
\end{align*}
\]
Leiten Sie nach \( y \) ab:
\[
\begin{align*}
f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2+2y)) \\
&= \frac{\partial}{\partial y}(x^2+2y) \cdot \frac{1}{x^2+2y} = \frac{2}{x^2+2y}
\end{align*}
\]
Beispiel 5
Finden Sie \( f_x(2 , 3) \) und \( f_y(2 , 3) \) von \( f(x , y) \), gegeben durch:
\[
f(x,y) = y x^2 + 2 y
\]
Lösung zu Beispiel 5:
Wir bestimmen zuerst die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \):
\[
f_x(x,y) = 2x y
\]
\[
f_y(x,y) = x^2 + 2
\]
Nun berechnen wir \( f_x(2 , 3) \) und \( f_y(2 , 3) \), indem wir \( x \) und \( y \) durch ihre gegebenen Werte ersetzen:
\[
f_x(2,3) = 2 (2)(3) = 12
\]
\[
f_y(2,3) = 2^2 + 2 = 6
\]
Übungen
Finden Sie die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \) der folgenden Funktionen:
1. \( f(x , y) = x e^{x + y} \)
2. \( f(x , y) = \ln ( 2 x + y x) \)
3. \( f(x , y) = x \sin(x - y) \)
Lösungen zu den obigen Übungen
1. \( f_x =(x + 1)e^{x + y} \quad \) , \( \quad f_y = x e^{x + y} \)
2. \( f_x = 1 / x \quad \) , \( \quad f_y = 1 / (y + 2) \)
3. \( f_x = x \cos (x - y) + \sin (x - y) \quad \), \( \quad f_y = -x \cos (x - y) \)
Weitere Referenzen und Links zu partiellen Ableitungen und Funktionen mit mehreren Variablen
Rechner für partielle Ableitungen
Tabellen mit Ableitungsformeln
Ableitungsregeln in der Analysis
Funktionen mit mehreren Variablen
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