Analysis 1 Übungsfrage - A

Eine Reihe von Fragen zur Analysis 1 mit ihren detaillierten Lösungen zum Üben für Tests, Prüfungen, Einstufungstests, ... und zum Erlangen eines tiefgreifenden Verständnisses der folgenden Themen:

  1. Funktionen
  2. Grenzwerte
  3. Stetigkeit
  4. Ableitungen
  5. Anwendungen von Ableitungen
Die Fragen wurden entwickelt, um die wichtigsten Themen der Analysis 1 abzudecken, und ihre detaillierten Lösungen enthalten Links zu weiteren Übungen zu diesen Themen.


  1. Frage 1
    Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion \[ f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{4 - x^2}} \]

  2. Frage 2
    Finden Sie den Wertebereich der Funktion \[ f(x) = \frac{x - 1}{2 - 3x} \]

  3. Frage 3
    Finden Sie die Umkehrfunktion der Funktion \[ f(x) = \ln(2x - 3) + 2 \]

  4. Frage 4
    Berechnen Sie jeden der folgenden Grenzwerte
    a) \[ \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} \] b) \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} \] c) \[ \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) \] d) \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} \] e) \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x) + 1}{x} \]

  5. Frage 5
    a) Zeichnen Sie \( y = e^{x-1} \) und \( y = x \) in dasselbe Koordinatensystem und zeigen Sie dann, dass sich die beiden Graphen im Punkt \( (1,1) \) berühren und dass \( e^{x-1} \ge x \) gilt.
    b) Verwenden Sie das in Teil a) erhaltene Ergebnis, um die Konkavität der Funktion \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \) und eventuelle Wendepunkte zu bestimmen.

  6. Frage 6
    Finden Sie die Ableitung der folgenden Funktionen und vereinfachen Sie die endgültige Antwort nicht.
    a) \( f(x) = e^{x-1} + \ln (3x-1) + \sin(2x+1) \)
    b) \( g(x) = (2x-1)^2(\tan(x)-1) \)
    c) \( h(x) = \dfrac{x - \cos(x)}{x^2-2x+1} \)
    d) \( m(x) = \sin \left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \right) \)
    e) \( n(x) = 3^{ 2x+3} + \log_3(2x-1) \)

  7. Frage 7
    Finden Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve mit der Gleichung \( \sin(y^2) = x^2 \) im Punkt \( ( 0,\sqrt{\pi}) \).

  8. Frage 8
    Finden Sie die Konstanten \( a \) und \( b \) so, dass die Funktion \( f \) auf \( (-\infty , +\infty ) \) stetig ist.
    \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x - 1 & x\le 1 \\ a x^3 + b & 1 \lt x \lt 2 \\ x + 2 b & x\ge 2 \\ \end{array} \right. \)

  9. Frage 9
    Finden Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve mit der Gleichung \( y = x + \sin(x) \) an der Stelle \( x = 0 \).

  10. Frage 10
    Verwenden Sie die Definition der Ableitung als Grenzwert, um die Ableitung \( f' \) zu finden, wobei \( f(x) = \sqrt{x+2} \) ist.

  11. Frage 11
    Bestimmen Sie, in welchen Intervallen die Funktion \( f(x) = e^x(x^2-5x+8)+\dfrac{x^4}{12}-\dfrac{x^3}{6} \) konkav nach oben und konkav nach unten ist, sowie eventuelle Wendepunkte.

  12. Frage 12
    Verwenden Sie das Newton-Verfahren mit dem Startnäherungswert \( x_1 = 2 \), um einen zweiten Näherungswert für die Lösung der Gleichung \( e^x = x^3 \) zu finden.

  13. Frage 13
    Finden Sie das absolute Maximum und Minimum der Funktion \( f(x) = x^4 - x^3 \) im Intervall \( [0,5] \).

  14. Frage 14
    Wenn sich die Abmessungen \( L \), \( W \) und \( H\) einer rechteckigen Box mit den Raten \( \dfrac{dL}{dt} = 0.1 \; cm/sec \), \( \dfrac{dW}{dt} = - 0.2 \; cm/sec\) und \( \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \; cm/sec\) ändern, mit welcher Rate ändert sich das Volumen der Box, wenn \( L = 20 \; cm \), \( W = 8 \; cm \) und \( H = 5 \; cm \) sind?

  15. Frage 15
    Welche Abmessungen hat das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt, das in einen Halbkreis mit Radius 3 eingeschrieben werden kann?

    Diagramm eines Kreises und eines Rechtecks für Frage 15

Detaillierte Lösungen zu den obigen Fragen


  1. Lösung zu Frage 1
    Damit die Funktion \( f \) reelle Werte annimmt, muss der Ausdruck unter der Wurzel im Zähler nicht negativ und der Ausdruck unter der Wurzel im Nenner positiv sein; daher die zu lösenden Ungleichungen
    \( x - 1 \ge 0 \) und \( 4 - x^2 \gt 0 \)
    Die Lösungsmengen für die erste bzw. zweite Ungleichung sind
    \( x \ge 1 \) und \( -2 \lt x \lt 2 \)
    Beide Ungleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein, daher ist der Definitionsbereich der gegebenen Funktion die Schnittmenge der Mengen \( x \ge 1 \) und \( -2 \lt x \lt 2 \), gegeben durch
    \( 1 \le x \lt 2 \)

  2. Lösung zu Frage 2
    Gemäß den Eigenschaften von Umkehrfunktionen ist eine Möglichkeit, den Wertebereich der gegebenen Funktion zu finden, den Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion zu bestimmen.
    Lassen Sie uns zunächst beweisen, dass \( f \) eine injektive Funktion ist, und dann ihre Umkehrfunktion finden. Um zu beweisen, dass \( f \) eine injektive Funktion und somit umkehrbar ist, verwenden wir die Kontraposition der Injektivität und beginnen mit \( f(a) = f(b) \) und beweisen, dass \( a = b \). Daher
    \( \dfrac{a - 1}{2-3 a} = \dfrac{b - 1}{2-3 b} \)
    Über Kreuz multiplizieren
    \( (a - 1)(2-3 b) = (2 - 3 a)(b - 1) \)
    Ausmultiplizieren
    \( 2a - 2 - 3 a b + 3 b = 2 b - 2 - 3 ab + 3 a \)
    Gleiche Terme zusammenfassen
    \( 2 a = 2 b \)
    Lösen nach a
    \( a = b\)
    was beweist, dass die Funktion \( f \) injektiv ist und daher eine Umkehrfunktion besitzt.
    Die Umkehrfunktion von \( f \) kann berechnet werden, indem man mit der Gleichung beginnt
    \( y = \dfrac{x - 1}{2-3x} \)
    Die obige Gleichung über Kreuz multiplizieren
    \( 2 y - 3 x y = x - 1 \)
    und nach \( x \) auflösen
    \( x = \dfrac{2 y + 1}{3y + 1} \)
    Vertauschen von \( x \) und \( y \) in der obigen Gleichung, um die Umkehrfunktion \( f^{-1} \) zu erhalten
    \( f^{-1}(x) = y = \dfrac{2 x + 1 }{3x + 1} \).
    Der Definitionsbereich von \( f^{-1} \) ist die Menge aller reellen Zahlen außer \( -\dfrac{1}{3} \). Daher ist der Wertebereich von \( f \) die Menge aller reellen Zahlen außer \( -\dfrac{1}{3} \), was in Intervallschreibweise wie folgt geschrieben werden kann
    \( (-\infty , - \dfrac{1}{3}) \cup (- \dfrac{1}{3} , +\infty) \)

  3. Lösung zu Frage 3
    Schreiben Sie die Funktion als Gleichung wie folgt
    \( y = \ln (2x - 3) + 2 \)
    Lösen Sie die obige Gleichung nach x auf
    \( y - 2 = \ln (2x - 3) \)
    \( 2x - 3 = e^{y - 2} \)
    \( 2 x = e^{y - 2} + 3 \)
    \( x = \dfrac{1}{2} (e^{y - 2} + 3) \)
    Vertauschen Sie \( x \) und \( y \)
    \( y = \dfrac{1}{2} (e^{x - 2} + 3) \)
    Die Umkehrfunktion von \( f \) ist gegeben durch
    \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} (e^{x - 2} + 3) \)

  4. Lösung zu Frage 4
    a)
    Der Grenzwert ist von der unbestimmten Form \( \dfrac{0}{0} \).
    Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Zählers \( -\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4} \)
    \( \lim_{x\to 16} \dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{4}}{x - 16 } \) = \( \lim_{x\to 16} \dfrac{ (-\dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } \)
    Vereinfachen
    \( = \lim_{x\to 16} \dfrac{ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{16} }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } = \lim_{x\to 16} \dfrac{ \dfrac{16-x}{16x} }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } \)
    \( = \lim_{x\to 16} \dfrac{-1}{16x(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{-1}{16 \times 16(-\dfrac{1}{\sqrt 16} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{1}{128}\)
    b)
    Der Grenzwert ist von der unbestimmten Form \( \dfrac{\infty}{\infty} \).
    Teilen Sie alle Terme im Zähler und alle Terme im Nenner durch den Term mit der höchsten Potenz, das ist \( x^4 \)
    \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{-x^3+2x-1}{x^4 - 3 x^3 + 9 } = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\dfrac{-x^3}{x^4}+\dfrac{2x}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{x^4}{x^4} - \dfrac{3 x^3}{x^4} + \dfrac{9}{x^4} }\).
    Rationale Terme vereinfachen
    \( = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\dfrac{-1}{x}+\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}}{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{x^4} } = \dfrac{0+0-0}{1 - 0 + 0 } = \dfrac{0}{1} = 0\)
    c)
    Der Grenzwert ist von der unbestimmten Form \( \infty \cdot 0 \).
    Sei \( t = \dfrac{3}{x} \) und schreiben Sie den Grenzwert in Termen von t um.
    \( \lim_{x\to +\infty} x \sin(\dfrac{3}{x}) = \lim_{t\to 0} 3 \dfrac {\sin(t)}{t} \).
    Unter Verwendung des bekannten Ergebnisses \( \lim_{t\to 0} \dfrac {\sin(t)}{t} = 1 \), ergibt der Grenzwert
    \( = 3 \times 1 = 3\)
    d)
    \( \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)+x}{2x^2+x} = \dfrac{0}{0}\), unbestimmte Form
    Verwenden Sie die Regel von L'Hospital für die unbestimmte Form, wir können schreiben
    \( \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)+x}{2x^2+x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ d (\sin(x)+x) / dx }{ d(2x^2+x)/dx} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ \cos(x)+ 1 }{ 4x+1} = \dfrac{ \cos(0)+ 1 }{ 4\times 0+1} = 2\)
    e)
    \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)+1}{x} \).
    Es ist bekannt, dass der Wertebereich von \( \sin(x) \) gegeben ist durch
    \( -1 \le \sin(x) \le 1 \)
    Addieren Sie 1 zu allen Termen der Ungleichung, um die folgende Ungleichung zu erhalten
    \( -1 + 1 \le \sin(x) + 1 \le 1 + 1 \)
    \( 0 \le \sin(x) + 1 \le 2 \)
    Teilen Sie alle Terme der obigen Ungleichung durch positives \( x \)
    \( \dfrac{0}{x} \le \dfrac{\sin(x) + 1}{x} \le \dfrac{2}{x} \)
    Wir haben \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{0}{x} = 0 \) und \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0 \)
    Unter Verwendung des Einschnürungs- (oder Sandwich-) Theorems können wir den gegebenen Grenzwert wie folgt berechnen
    \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)+1}{x} = 0 \)

  5. Lösung zu Frage 5
    a)
    Die Graphen von \( y = e^{x-1} \) und \( y = x \) sind unten dargestellt. Die Ableitung von \( y = e^{x-1} \) ist gleich \( y' = e^{x-1} \) und die Steigung \( m \) der Tangente bei \( x = 1 \) ist der Wert der Ableitung an der Stelle \( x = 1\). Daher

    Graphen von y = e^(x-1) und y = x
    \( m = y'(1) = e^{1-1}= 1 \)
    Die Gleichung der Tangente im Punkt \( (1,1) \) ist gegeben durch
    \( y - 1 = 1 \times (x - 1) \)
    Was sich vereinfacht zu
    \( y = x \)
    Daher berühren sich die Graphen von \( y = e^{x-1} \) und \( y = x \) im Punkt \( (1,1) \) und wir können daher grafisch feststellen, dass \( e^{x-1} \ge x \) gilt.
    b)
    Die erste und zweite Ableitung von \( f \) sind gegeben durch
    \( f'(x) = \dfrac{x^2}{2}-e^{x-1} \)
    \( f''(x) = x-e^{x-1} \)
    Ein Wendepunkt tritt an einem Wert von \( x \) auf, an dem \( f''(x) \) das Vorzeichen wechselt. Wir haben in Teil a) gesehen, dass \( e^{x-1} \ge x \) gilt, was geschrieben werden kann als
    \( x-e^{x-1} \le 0 \)
    und daher ist \( f''(x) \) negativ und hat eine Nullstelle bei \( x = 1 \). Folglich ist der Graph von \( f(x) \) konkav nach unten und hat keinen Wendepunkt, da \( f''(x) \) das Vorzeichen nicht wechselt.

  6. Lösung zu Frage 6
    a) Summenregel der Ableitungen ergibt: \( f'(x) = e^{x-1} + \dfrac{3}{3x-1} + 2 \cos(2x+1) \)
    b) Produktregel der Ableitungen: \( g'(x) = 4(2x-1)(\tan(x)-1) + (2x-1)^2(\sec^2(x)) \)
    c) Quotientenregel der Ableitungen: \( h'(x) = \dfrac{ (1 + \sin(x))(x^2-2x+1) - (x - \cos(x))(2x-2) }{(x^2-2x+1)^2} \)
    d) Sei \( u = \sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \), schreiben Sie die Funktion \(m \) als \(m = \sin u \), dann verwenden Sie die Kettenregel der Ableitungen
    \( m'(x) = \dfrac{d m}{d u} \dfrac{d u}{d x} = \cos(u) \dfrac{1}{2}(3x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2)^{-1/2} \)
    \( = \dfrac{1}{2} \cos \left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \right) (3x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2)^{-1/2} \)
    e)
    Schreiben Sie \( 3^{ 2x+3} \) und \( \log_3(2x-1) \) um als
    \( 3^{2x+3} = e^{(2x+3) \ln 3}\) , Basiswechsel bei Exponentialfunktionen
    \( \log_3(2x-1) = \dfrac{ \ln(2x-1)}{ \ln 3}\) , Basiswechsel bei Logarithmen
    Ersetzen Sie und schreiben Sie \( n(x) \) um als
    \( n(x) = 3^{ 2x+3} + \log_3(2x-1) = e^{(2x+3) \ln 3} + \dfrac{ \ln(2x-1)}{ \ln 3} \)
    Wir berechnen nun die Ableitung
    \( n'(x) = ( 2 \ln 3 ) e^{(2x+3) \ln 3} + \dfrac{1}{ \ln 3} \dfrac{2}{2x-1} = ( 2 \ln 3 ) 3^{2x+3} + \dfrac{2}{\ln 3(2x-1)} \)

  7. Lösung zu Frage 7
    Wir differenzieren zuerst die gegebene Gleichung implizit
    \( 2 y \dfrac{d y}{d x} \cos(y^2) = 2 x \)
    \( \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{ x}{ y \cos(y^2)} \)
    Die Steigung \( m \) der Tangente ist gegeben durch den Wert von \( \dfrac{d y}{d x} \) an der Stelle \( ( 0,\sqrt{\pi}) \).
    \( m = \dfrac{(0)}{\sqrt{\pi} \cos((\sqrt{{\pi}})^2)} = 0 \)
    Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt \( ( 0,\sqrt{\pi}) \) in Punktsteigungsform ist gegeben durch
    \( y - \sqrt{\pi} = 0(x - 0) \)
    Es ist eine horizontale Linie, gegeben durch
    \( y = \sqrt{\pi} \)

  8. Lösung zu Frage 8
    \( f(x) \) ist stetig auf den Intervallen \( (-\infty , 1) \) , \( (1,2) \) und \( (2 , +\infty) \). Wir müssen \( a \) und \( b \) so finden, dass sie auch an den Stellen \( x = 1 \) und \( x = 2 \) stetig ist und daher auf \( (-\infty , +\infty ) \) stetig ist.
    \( f(1) = 1 \)
    \( \lim_{x\to 1^-} f(x) = 1 \)
    \( \lim_{x\to 1^+} f(x) = a(1)^3+b = a + b \)
    Die Grenzwerte von links und rechts von \( 1 \) müssen gleich sein
    \( a + b = 1 \) (Gleichung 1)
    \( f(2) = 2 + 2 b \)
    \( \lim_{x\to 2^-} f(x) = a(2)^3 + b = 8 a + b \)
    \( \lim_{x\to 2^+} f(x) = 2 + 2 b \)
    Die Grenzwerte von links und rechts von \( 2 \) müssen gleich sein
    \( 8 a + b = 2 + 2 b \) (Gleichung 2)
    Lösen Sie die Gleichungen (1) und (2) gleichzeitig, um zu finden
    \( a = \dfrac{1}{3} \) und \( b = \dfrac{2}{3} \)

  9. Lösung zu Frage 9
    Finden Sie die Ableitung von \( y \).
    \( y' = 1 + \cos(x) \)
    Die Steigung \( m \) der Tangente an der Stelle \( x = 0 \) ist gleich dem Wert von \( y' \) an der Stelle \( x = 0 \). Daher
    \( m = 1 + \cos(0) = 2 \)
    Die y-Koordinate des Berührungspunktes \( P \) ist gegeben durch den Wert von \( y \) an der Stelle \( x = 0 \). Daher
    \( P(0 , 0 + \sin(0)) = P(0,0) \)
    Die Gleichung der Tangente in Punktsteigungsform ist gegeben durch
    \( y - 0 = 2(x - 0) \)
    und in Hauptform
    \( y = 2 x \)

  10. Lösung zu Frage 10
    Definition der Ableitung \( f' \) der Funktion \( f \) ist gegeben durch den Grenzwert
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
    Setzen Sie \( f(x) \) durch \( \sqrt{x+2} \) in die obige Definition ein, um zu erhalten
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{\sqrt{x + h +2}- \sqrt{x+2} }{h} \)
    Der obige Grenzwert ist von der unbestimmten Form \( \dfrac{0}{0} \). Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Zählers
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ (\sqrt{x + h +2}- \sqrt{x+2} ) (\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} ) }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )} \)
    Den Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ (x + h + 2)- (x + 2) ) }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )} = \lim_{h\to 0} \dfrac{ h }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )}\)
    Zähler und Nenner durch \( h \) teilen (oder \( h \) kürzen)
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ 1 }{\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} }\)
    Den Grenzwert und damit die Ableitung berechnen
    \( f'(x) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{x + 0 + 2} + \sqrt{x + 2} } = \dfrac{ 1 }{2 \sqrt{x + 2} }\)

  11. Lösung zu Frage 11
    Finden Sie die erste und zweite Ableitung
    \( f'(x) = e^x (x^2-5x+8) + e^x (2 x -5) +\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} = e^x (x^2-3x+3)+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} \)
    \( f''(x) = e^x(x^2-3x+3)+e^x(2x-3) + x^2-x = e^x(x^2-x)+x^2-x = x (x - 1) e^x \)
    \( f'' \) hat zwei Nullstellen: \( x = 0 \) und \( x = 1\) und \( e^x \) ist immer positiv. Daher hat die Vorzeichentabelle von \( f'' \) drei Intervalle
    1) \( (-\infty , 0 ) \) , Testwert \( x = -1 \) , \( f''(-1) = 2/e \) , daher ist \( f''(x) \) positiv im Intervall \( (-\infty , 0 ) \).
    2) \( (0 , 1 ) \) , Testwert \( x = 1/2 \) , \( f''(1/2) = -\dfrac{\sqrt 2}{4} \) , daher ist \( f''(x) \) negativ im Intervall \( (0 , 1 ) \).
    3) \( (1 , +\infty ) \) , Testwert \( x = 2 \) , \( f''(2) = 2e^2 \) , \( f''(x) \) ist positiv im Intervall \( (1 , +\infty ) \).
    \( f'' \) ist konkav nach oben auf den Intervallen \( (-\infty , 0 ) \) und \( (1 , +\infty ) \), und konkav nach unten auf dem Intervall \( (0 , 1 ) \).
    \( f'' \) wechselt das Vorzeichen bei \( x = 0 \) und \( x = 1 \) und hat daher Wendepunkte bei \( x = 0 \) und \( x = 1 \).

  12. Lösung zu Frage 12
    Das Newton-Verfahren basiert auf dem folgenden Algorithmus: Kennt man einen Näherungswert \( x_n \) für die Lösung einer Gleichung \( f(x) = 0 \), so ist der nächste Näherungswert \( x_{n+1}\) für die Gleichung gegeben durch
    \( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
    Die Lösung der gegebenen Gleichung \( e^x = x^3 \) ist gleich der Lösung der Gleichung \( f(x) = e^x - x^3 = 0 \)
    \( f'(x) = e^x - 3x^2 \)
    Wir kennen einen ersten Näherungswert \( x_1 = 2 \); unter Verwendung des Newton-Algorithmus approximieren wir \( x_2\) durch
    \( x_{2} = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 2 - \dfrac{e^2 - 2^3}{e^2 - 3 \times 2^2} \approx 1.87 \) (gerundet auf zwei Dezimalstellen)
    Ein Näherungswert \(x_3\) kann unter Verwendung des oben gefundenen \( x_2 \) erhalten werden und so weiter.

  13. Lösung zu Frage 13
    Finden Sie die erste Ableitung und faktorisieren Sie sie.
    \( f'(x) = 4 x^3 - 3 x^2 = x^2(4x - 3)\)
    \( f'(x) \) hat zwei Nullstellen bei \( x = 0 \) und \( x = 3/4 \) und beide liegen innerhalb des Intervalls \( [0,5] \). Die Nullstellen von \( f'(x) \) werden kritische Punkte genannt.
    Wir berechnen nun die Funktion an den Endpunkten des gegebenen Intervalls und den Nullstellen von \( f'(x) \).
    \( f(0) = 0 \)
    \( f(5) = 5^4 - 5^3 = 500 \)
    \( f(3/4) = (3/4)^4 - (3/4)^3 = -\dfrac{27}{256} \)
    Beim Vergleich dieser Werte hat \( f(x) \) ein absolutes Maximum von \(500 \) am Endpunkt \( x = 5 \) und ein absolutes Minimum von \( -\dfrac{27}{256} \) am kritischen Punkt \( x = 3/4 \).
    Weitere Fragen zum absoluten Minimum und Maximum einer Funktion sind enthalten.

  14. Lösung zu Frage 14
    Das Volumen \( V \) einer rechteckigen Box mit den Abmessungen \( L \), \( W \) und \( H\) ist gegeben durch
    \( V = L(t) W(t) H(t) \)
    wobei \( L(t)\) , \( W(t) \) und \( H(t) \) Funktionen der Zeit \( t \) sind.
    Da sich die Abmessungen der Box mit der Zeit ändern, ändert sich auch das Volumen der Box mit der Zeit. Die Änderungsrate von \( V\) ist gegeben durch die erste Ableitung \( \dfrac{dV}{dt} \).
    \( \dfrac{dV}{dt} = W(t) H(t) \dfrac{d L}{dt } + L(t) H(t) \dfrac{d W}{dt } + L(t) W(t) \dfrac{d H}{dt } \)
    Setzen Sie die bekannten Größen durch ihre numerischen Werte ein
    \( \dfrac{dV}{dt} = 8 \times 5 \times 0.1 + 20 \times 5 \times (-0.2) + 20 \times 8 \times 0.3 = 32 \; cm^3 / sec \)

  15. Lösung zu Frage 15
    Gleichung eines Kreises mit Radius \( 3 \) und Mittelpunkt bei \( (0 , 0) \) gegeben durch
    \( x^2 + y^2 = 3^2 \)
    Lösen Sie die obige Gleichung nach y auf
    \(y^2 = 9 - x^2\)
    \( y = \pm \sqrt{9 - x^2} \)
    Die Gleichung für den oberen Halbkreis lautet
    \( y = \sqrt{9-x^2} \)
    Ein Punkt auf dem Halbkreis mit der x-Koordinate \( x \) hat eine y-Koordinate gleich \(\sqrt{9 - x^2} \) (siehe Grafik unten).
    Das Rechteck hat eine Länge \( L = 2x \) und eine Breite (oder Höhe) \( W = \sqrt{9-x^2} \). Der Flächeninhalt \( A \) des Rechtecks ist gegeben durch
    \( A(x) = L \times W = 2 x \sqrt{9-x^2} \) , \( 0 \le x \le 3 \)
    Diagramm eines Kreises und eines Rechtecks für die Lösung zu Frage 15
    Finden Sie die erste Ableitung von \( A \)
    \( \dfrac{d A}{dx} = 2\sqrt{9-x^2} + (2x) (\dfrac{1}{2}) (-2x) (9-x^2)^{-1/2} =\dfrac{2\left(-2x^2+9\right)}{\sqrt{9-x^2}} \)
    Nullstellen von \( \dfrac{d A}{dx} \) sind gegeben durch die Nullstellen des Zählers von \( \dfrac{d A}{dx} \)
    \( -2x^2+9 = 0 \)
    Ergibt zwei Nullstellen: \( x = \sqrt{4.5} \) und \( x = - \sqrt{4.5} \)
    Wir betrachten die Nullstelle bei \( x = \sqrt{4.5} \), da sie innerhalb des Intervalls \( [0 , 3 ] \) liegt.
    Wir berechnen nun den Flächeninhalt \( A(x) \) an den Endpunkten \( x = 0 \) und \( x = 3 \) und am kritischen Punkt \( x = \sqrt{4.5} \).
    \( A(0) = 0 \)
    \( A(3) = 0 \)
    \( A(\sqrt{4.5}) = 9 \)
    Der Flächeninhalt A ist maximal für \( x = \sqrt{4.5} \).
    Die Abmessungen sind:
    \( L = 2 x = 2 \sqrt{4.5} \approx 4.24 \)
    \( W = \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-(\sqrt{4.5})^2} \approx 2.12 \)
Weitere Optimierungsprobleme sind enthalten.

Weitere Referenzen und Links

Analysis Probleme