Es werden Lösungen zur Faktorisierung von Polynomen durch Ausklammern präsentiert.
Verwenden Sie gemeinsame Faktoren, um die folgenden Polynome vollständig zu faktorisieren.
a) \[-3x + 9\] b) \[28x + 2x^2\] c) \[11xy + 55x^2y\] d) \[20xy + 35x^2y - 15xy^2\] e) \[5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1)\]
a)
Finden Sie alle gemeinsamen Faktoren in den beiden Termen von \( -3x + 9 \), indem Sie beide Terme, \( -3x \) und \( 9 \), durch Primfaktorzerlegung darstellen.
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]
Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{3} \), der ausgeklammert wird. Daher gilt:
\[ -3x + 9 = \color{red}{3}(-x + 3) = -3(x - 3) \]
b)
Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes Terms im gegebenen Polynom \( 28x + 2x^2 \).
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]
Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{2x} \), und er wird ausgeklammert. Daher gilt:
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2x}(14 + x) \]
c)
Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes Terms im gegebenen Polynom \( 11xy + 55x^2y \).
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]
Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{11xy} \), der ausgeklammert wird. Daher gilt:
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]
d)
Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes Terms im gegebenen Polynom \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \).
\[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = 2 \cdot 2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + \color{red}{5} \cdot 7 \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} - 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]
Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{5xy} \), und er wird ausgeklammert. Daher gilt:
\[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]
e)
Wir beginnen damit, den gemeinsamen Faktor \( (x + 1) \) im gegebenen Polynom auszuklammern.
\[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]
Nun faktorisieren wir das Polynom \( 5y + 10y^2 - 15xy \), indem wir den größten gemeinsamen Faktor (ggT) aller drei Terme verwenden.
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5 \cdot y} + 2 \cdot \color{red}{5 \cdot y} \cdot y - 3 \cdot \color{red}{5 \cdot y} \cdot x = \color{red}{5 \cdot y}(1 + 2y - 3x) \]
Das gegebene Polynom kann wie folgt faktorisiert werden:
\[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]