Finde alle Schnittpunkte des Kreises x2 + 2x + y2 + 4y = -1 und der Linie x - y = 1
Finde die Fläche des Dreiecks zwischen der x-Achse und den Linien y = x und y = -2x + 3.
Finde die Länge der dritten Seite eines Dreiecks, wenn die Fläche des Dreiecks 18 beträgt und zwei seiner Seiten Längen von 5 und 10 haben.
In der Abbildung unten liegen die Punkte A, B, C und D auf einem Kreis. Punkt O ist der Schnittpunkt der Chords AC und BD. Die Fläche des Dreiecks BOC beträgt 15; die Länge von AO beträgt 10 und die Länge von OB beträgt 5. Was ist die Fläche des Dreiecks AOD?
.
Die beiden Kreise unten sind konzentrisch (haben denselben Mittelpunkt). Der Radius des großen Kreises beträgt 10 und der des kleinen Kreises beträgt 6. Was ist die Länge der Chord AB?
.
Punkt A liegt innerhalb des Quadrats BCDE, dessen Seitenlänge 20 beträgt. Die Länge von AB beträgt 9 und die Länge von AE beträgt 13. Finde x, die Länge von AC.
.
Löse x - y = 1 nach x (x = 1 + y) und setze es in die Gleichung des Kreises ein, um zu erhalten:
(1 + y)2 + 2·(1 + y) + y2 + 4y = -1
Erweitere, gruppieren Sie gleichartige Begriffe und schreiben Sie die obige quadratische Gleichung in der Standardform
2 y 2 + 8 y + 4 = 0
und lösen Sie sie, um
y = - 2 + √2 und y = - 2 - √2 zu erhalten
Verwenden Sie x = 1 + y, um die Koordinate x zu finden
Schnittpunkte: ( -1 + √2, - 2 + √2 ) und ( -1 - √2 , -2 - √2 )
Wir zeichnen zunächst die Linien y = x und y = -2x + 3, um die Schnittpunkte der Linien mit der x-Achse zu lokalisieren und das betreffende Dreieck zu identifizieren.
.
Die Höhe ist die y-Koordinate des Schnittpunkts der Linien y = x und y = -2x + 3, der durch Lösen des Gleichungssystems gefunden wird.
Lösen Sie: y = -2x + 3 , y = x , Lösung: (1 , 1), was auch der Schnittpunkt ist. Die y-Koordinate beträgt 1 und ist auch die Höhe des Dreiecks.
Die Länge der Basis entspricht dem x-Intercept der Linie y = -2x + 3, was x = 3/2 ist.
Fläche des schattierten Dreiecks = (1/2)(1)(3/2) = 3/4
Die Sinusformel für die Fläche unter Verwendung von zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Innenwinkel kann wie folgt geschrieben werden
18 = (1/2) × 5 × 10 × sin(A)
was zu: sin(A) = 18/25 führt
Verwenden Sie nun das Kosinusgesetz , um die Länge x der dritten Seite gegenüber dem Winkel A wie folgt zu finden:
x2 = 52 + 102 - 2 × 5 × 10 × cos(A)
mit cos(A) = √(1 - sin(A)2)
Setzen Sie den Ausdruck für x2 ein und lösen Sie nach x auf, um x = 7,46 (auf 3 signifikante Stellen gerundet) zu erhalten
Die Fläche des Dreiecks BOC beträgt 15 und wird durch (1/2)BO × OC × sin(BOC) gegeben
Die Fläche des Dreiecks AOD ist durch (1/2)AO × OD × sin(AOD) gegeben
Beachten Sie, dass die Winkel BOC und AOD gleich sind.
Nach dem Satz des schneidenden Chords gilt: AO × OC = BO × OD
Was geschrieben werden kann als: AO / BO = OD / OC = 10 / 5 = 2
Die Verhältnisse AO / BO und OD / OC sind beide gleich 2, daher ist ihr Produkt gleich 4, wie folgt
(AO × OD) / (BO × OC) = 4
Was zu: AO × OD = 4 × (BO × OC) führt
Daher ist die Fläche des Dreiecks AOD 4-mal so groß wie die Fläche des Dreiecks BOC und beträgt 60.
Wenn wir in den kleinen Kreis einen Radius zur Tangenten ziehen, wird er im rechten Winkel zur Chord stehen (siehe Abbildung unten). Wenn x die Hälfte der Länge von AB ist, r der Radius des kleinen Kreises und R der Radius des großen Kreises ist, dann haben wir nach dem Satz des Pythagoras :
r2 + x2 = R2
62 + x2 = 102
Lösen Sie x: x = 8
Länge von AB = 2x = 16
.
Verwenden Sie das Kosinusgesetz im Dreieck ABE:
132 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(T) (I)
Verwenden Sie das Kosinusgesetz im Dreieck ACB:
x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(90° - T)
.
Beachten Sie, dass cos(90° - T) = sin(T) und schreiben Sie die zweite Gleichung als
Verwenden Sie das Kosinusgesetz im Dreieck ACB:
x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) cos(90 - T)
Setzen Sie cos(90° - T) = sin(T) ein, um zu erhalten
x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) sin(T) (III)
Lösen Sie die Gleichung (I) für cos(T).
cos(T) = 13/15
Verwenden Sie die trigonometrische Identität sin(T) = √ (1 - cos2 T), um
sin(T) = 2 √(14) / 15
Setzen Sie sin(T) durch 2 √(14) / 15 in Gleichung (III) ein und lösen Sie nach x auf
x = √( 481 - 48 √( 14 ) ) = 17,4 (auf 3 signifikante Stellen gerundet)
.
.
.
.
.
.
