Trigonometrische Identitäten und der Einheitskreis
Fragen mit Lösungen

Wie verwendet man den Einheitskreis um Eigenschaften und trigonometrische Identitäten der Sinus- und Kosinus Funktionen zu finden? Trigonometrie-Fragen der 11. Klasse werden zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.
Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrien in Bezug auf Geraden durch den Mittelpunkt und eine Symmetrie in Bezug auf seinen Mittelpunkt. Wir interessieren uns hier für die Symmetrien in Bezug auf seinen Mittelpunkt, die x-Achse, die y-Achse und die Gerade y = x. Es wird gezeigt, wie die Nutzung dieser Symmetrien es uns erlaubt, verschiedene Identitäten in der Trigonometrie aufzustellen.

Identitäten aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises um den Ursprung, die x- und y-Achsen

Vier Winkel (θ, π - θ, π + θ und 2π - θ) sind unten in einem Einheitskreis dargestellt. Zu jedem Winkel gehört ein Punkt (A, B, C oder D) auf dem Einheitskreis.

Symmetrie im Einheitskreis

Die vier Winkel haben denselben Referenzwinkel \( \theta \). Aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises bilden die vier Punkte ein Rechteck \( ABCD \), wie in der Abbildung dargestellt.

Die Punkte \( A \) und \( B \) sind Spiegelungen voneinander an der y-Achse. Die Punkte \( A \) und \( C \) sind Spiegelungen voneinander am Ursprung. Die Punkte \( A \) und \( D \) sind Spiegelungen voneinander an der x-Achse.

Gegeben die Koordinaten \( a \) und \( b \) von Punkt \( A \) und unter Verwendung der Symmetrien des Einheitskreises, sind die Koordinaten der Punkte \( A \), \( B \), \( C \) und \( D \):

\[ A: (a , b), \quad B: (-a , b), \quad C: (-a , -b), \quad D: (a , -b) \]

Wir drücken nun die Koordinaten jedes Punktes durch Sinus und Kosinus des entsprechenden Winkels aus:

\[ A: (a , b) = (\cos \theta , \sin \theta) \] \[ B: (-a , b) = (\cos(\pi - \theta) , \sin(\pi - \theta)) \] \[ C: (-a , -b) = (\cos(\pi + \theta) , \sin(\pi + \theta)) \] \[ D: (a , -b) = (\cos(2\pi - \theta) , \sin(2\pi - \theta)) \]

Beispiele für Identitäten

Durch Vergleich der x- und y-Koordinaten der Punkte A und B können wir schreiben:

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta \] \[ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta \]

Durch Vergleich der x- und y-Koordinaten der Punkte A und C können wir schreiben:

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos \theta \] \[ \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta \]

Durch Vergleich der x- und y-Koordinaten der Punkte A und D können wir schreiben:

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos \theta \] \[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta \]

Weitere Identitäten aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises an der x-Achse (Negative Winkel)

Zwei Winkel \(\theta\) und \(-\theta\) sind unten in einem Einheitskreis dargestellt, die den Punkten \(A\) und \(D\) auf dem Einheitskreis entsprechen.

Symmetrie im Einheitskreis und negative Winkel

Die Punkte \(A\) und \(D\) sind Spiegelungen voneinander an der x-Achse. Gegeben die Koordinaten \(a\) und \(b\) von Punkt \(A\), sind die Koordinaten von \(D\):
\[ D = (a, -b) \] Wir können die Koordinaten der Punkte \(A\) und \(D\) wie folgt durch Sinus und Kosinus der entsprechenden Winkel ausdrücken:
\[ A = (a, b) = (\cos \theta, \sin \theta) \] \[ D = (a, -b) = (\cos(-\theta), \sin(-\theta)) \]
Beispiele für Identitäten, die abgeleitet werden können:
\[ \cos(-\theta) = \cos \theta \] \[ \sin(-\theta) = -\sin \theta \]

Identitäten aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises an der Geraden y = x

Die unten im Einheitskreis gezeigten Punkte A und B sind Spiegelungen voneinander an der Geraden y = x. Aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises in Bezug auf die Gerade y = x sind die entsprechenden Winkel zu diesen Punkten θ und π/2 - θ wie unten gezeigt.

Symmetrie im Einheitskreis in Bezug auf die Gerade y = x

Die Punkte \( A \) und \( B \) sind Spiegelungen voneinander an der Geraden \( y = x \). Gegeben die Koordinaten \( a \) und \( b \) von Punkt \( A \), sind die Koordinaten von Punkt \( B \) gegeben durch: \[ B: (b, a) \] Wir drücken nun die Koordinaten der Punkte \( A \) und \( B \) wie folgt durch Sinus und Kosinus des entsprechenden Winkels aus: \[ A: (a, b) = (\cos \theta, \sin \theta) \] \[ B: (b, a) = \left( \cos \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right), \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) \right) \] Beispiele für Identitäten, die abgeleitet werden können \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta \] \[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta \]

Verwenden Sie die folgenden standardmäßigen trigonometrischen Identitäten:

\( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)
\( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)

Verifizieren Sie nun die folgenden trigonometrischen Identitäten:

\( \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta \)
\( \sin(\pi - \theta) = \sin \theta \)
\( \cos(\pi + \theta) = -\cos \theta \)
\( \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta \)
\( \cos(2\pi - \theta) = \cos \theta \)
\( \sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta \)
\( \cos(-\theta) = \cos \theta \)
\( \sin(-\theta) = -\sin \theta \)
\( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta \)
\( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta \)

Lösungen

Verwenden Sie die allgemeine Identität \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \), um \( \cos(\pi - \theta) \) zu entwickeln:
\[ \cos(\pi - \theta) = \cos \pi \cos \theta + \sin \pi \sin \theta \]
Mit \( \cos \pi = -1 \) und \( \sin \pi = 0 \) vereinfachen wir zu:
\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta \]
Verwenden Sie die allgemeine Identität \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \), um \( \sin(\pi - \theta) \) zu entwickeln:
\[ \sin(\pi - \theta) = \sin \pi \cos \theta - \cos \pi \sin \theta \]
Mit \( \sin \pi = 0 \) und \( \cos \pi = -1 \) vereinfachen wir zu:
\[ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \), um \( \cos(\pi + \theta) \) zu entwickeln:
\[ \cos(\pi + \theta) = \cos \pi \cos \theta - \sin \pi \sin \theta \]
Mit \( \cos \pi = -1 \) und \( \sin \pi = 0 \) vereinfachen wir zu:
\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos \theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \), um \( \sin(\pi + \theta) \) zu entwickeln:
\[ \sin(\pi + \theta) = \sin \pi \cos \theta + \cos \pi \sin \theta \]
Mit \( \sin \pi = 0 \) und \( \cos \pi = -1 \) vereinfachen wir zu:
\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \), um \( \cos(2\pi - \theta) \) zu entwickeln:
\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos \theta + \sin 2\pi \sin \theta \]
Mit \( \cos 2\pi = 1 \) und \( \sin 2\pi = 0 \) vereinfachen wir zu:
\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos \theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \), um \( \sin(2\pi - \theta) \) zu entwickeln:
\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos \theta - \cos 2\pi \sin \theta \]
Mit \( \sin 2\pi = 0 \) und \( \cos 2\pi = 1 \) vereinfachen wir zu:
\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta \]
Um \( \cos(-\theta) = \cos \theta \) zu verifizieren, schreiben Sie es als \( \cos(0 - \theta) \):
\[ \cos(-\theta) = \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos \theta + \sin 0 \sin \theta \]
Mit \( \cos 0 = 1 \) und \( \sin 0 = 0 \) vereinfachen wir zu:
\[ \cos(-\theta) = \cos \theta \]
Um \( \sin(-\theta) = -\sin \theta \) zu verifizieren, schreiben Sie es als \( \sin(0 - \theta) \):
\[ \sin(-\theta) = \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos \theta - \cos 0 \sin \theta \]
Mit \( \sin 0 = 0 \) und \( \cos 0 = 1 \) vereinfachen wir zu:
\[ \sin(-\theta) = -\sin \theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \), um \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) \) zu entwickeln:
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos \theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin \theta \]
Mit \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) und \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \) vereinfachen wir zu:
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \), um \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) \) zu entwickeln:
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos \theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin \theta \]
Mit \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \) und \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) vereinfachen wir zu:
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta \]