Trigonometrische Identitäten & der Einheitskreis

Ableitung von Eigenschaften und Beweisen mittels Symmetrie

Wie können Sie den Einheitskreis verwenden, um Eigenschaften und trigonometrische Identitäten für die Sinus- und Kosinusfunktionen zu finden?

Ein Kreis hat eine unendliche Anzahl von Symmetrien. Hier interessieren wir uns speziell für Symmetrien in Bezug auf die x-Achse, die y-Achse, den Ursprung und die Gerade \( y = x \). Die Verwendung dieser geometrischen Symmetrien ermöglicht es uns, grundlegende Identitäten in der Trigonometrie visuell herzuleiten und aufzuschreiben.

Identitäten durch Symmetrie an Ursprung, X- und Y-Achsen

Vier Winkel \( \theta \), \( \pi - \theta \), \( \pi + \theta \) und \( 2\pi - \theta \) werden unten in einem Einheitskreis dargestellt. Jeder Winkel entspricht einem Punkt (\( A, B, C \) oder \( D \)) auf dem Kreis.

Symmetrie im Einheitskreis, die ein Rechteck aus 4 Punkten zeigt

Die vier Winkel haben denselben Referenzwinkel, der gleich \( \theta \) ist. Aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises bilden die vier Punkte ein Rechteck \( ABCD \). Gegeben seien die Koordinaten \( (a, b) \) des Punktes \( A \), wir können die Koordinaten der anderen Punkte durch Spiegelung finden:

Abgeleitete Identitäten

Von Punkt A und B (Symmetrie zur y-Achse):

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]

Von Punkt A und C (Symmetrie zum Ursprung):

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

Von Punkt A und D (Symmetrie zur x-Achse):

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \]

Negative Winkel (Symmetrie zur X-Achse)

Zwei Winkel \( \theta \) und \( -\theta \) sind unten dargestellt, entsprechend den Punkten \( A \) und \( D \).

Symmetrie im Einheitskreis, die positive und negative Winkel zeigt

Die Punkte \( A \) und \( D \) sind Spiegelbilder voneinander an der x-Achse. Wie bereits gesehen, sind ihre Koordinaten \( A(a,b) \) und \( D(a,-b) \). Dies führt zu den "geraden/ungeraden" trigonometrischen Identitäten:

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]

Identitäten durch Symmetrie zur Geraden \( y = x \)

Die unten gezeigten Punkte \( A \) und \( B \) sind Spiegelbilder voneinander an der diagonalen Geraden \( y = x \). Aufgrund dieser Symmetrie sind die entsprechenden Winkel \( \theta \) und \( \dfrac{\pi}{2} - \theta \).

Symmetrie im Einheitskreis bezüglich der Geraden y = x

Die Spiegelung an \( y = x \) vertauscht die x- und y-Koordinaten. Wenn \( A \) den Punkt \( (a, b) \) darstellt, dann ist \( B \) der Punkt \( (b, a) \).

Cofunktion-Identitäten

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \]

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \]

Algebraische Verifizierung der Identitäten

Wir können alle visuellen Symmetrien, die wir gerade entdeckt haben, algebraisch unter Verwendung der Standard-Additionstheoreme für Winkel beweisen:

1. Überprüfung: \( \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta \]

Mit \( \cos\pi = -1 \) und \( \sin\pi = 0 \):

\[ = (-1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

2. Überprüfung: \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \)

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta \]

Mit \( \sin\pi = 0 \) und \( \cos\pi = -1 \):

\[ = (0)\cos\theta - (-1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

3. Überprüfung: \( \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi + \theta) = \cos\pi \cos\theta - \sin\pi \sin\theta \]

\[ = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

4. Überprüfung: \( \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(\pi + \theta) = \sin\pi \cos\theta + \cos\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

5. Überprüfung: \( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \)

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos\theta + \sin 2\pi \sin\theta \]

Mit \( \cos 2\pi = 1 \) und \( \sin 2\pi = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

6. Überprüfung: \( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos\theta - \cos 2\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

7. Überprüfung: \( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

Umschreiben als \( \cos(0 - \theta) \):

\[ \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos\theta + \sin 0 \sin\theta \]

Mit \( \cos 0 = 1 \) und \( \sin 0 = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

8. Überprüfung: \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

Umschreiben als \( \sin(0 - \theta) \):

\[ \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos\theta - \cos 0 \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

9. Überprüfung: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

Mit \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) und \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \):

\[ = (0)\cos\theta + (1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

10. Überprüfung: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \)

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

\[ = (1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

Herausforderungsaufgaben

Wenden Sie Ihr Verständnis von Symmetrie, Identitäten und Additionstheoremen an, um die folgenden Herausforderungen zu lösen.

Herausforderung 1 (Tangens-Symmetrie): Beweisen Sie mithilfe der oben abgeleiteten Sinus- und Kosinus-Symmetrien, dass die Tangensfunktion eine Periode von \( \pi \) hat. Das heißt, beweisen Sie, dass \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \).

Beweis anzeigen

Schritt 1: Verwenden Sie die Quotientenidentität, um den Tangens durch Sinus und Kosinus auszudrücken.

\[ \tan(\pi + \theta) = \dfrac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} \]

Schritt 2: Setzen Sie die Symmetrien für die Spiegelung am Ursprung (III. Quadrant) ein.

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

Schritt 3: Vereinfachen Sie den Bruch.

\[ \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\tan\theta} \]

Herausforderung 2 (Anwendung der Symmetrien): Berechnen Sie den exakten Wert des folgenden Ausdrucks ohne Taschenrechner: \[ \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \]

Lösung anzeigen

Schritt 1: Vereinfachen Sie den Sinusterm.
Finden Sie einen koterminalen Winkel für \( \dfrac{13\pi}{4} \), indem Sie \( 2\pi \) (\( \dfrac{8\pi}{4} \)) subtrahieren.
\( \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \).
Dies liegt im III. Quadranten, bezogen auf \( \dfrac{\pi}{4} \). Daher gilt \( \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

Schritt 2: Vereinfachen Sie den Kosinusterm.
Verwenden Sie die Identität für gerade Funktionen: \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).
\( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \).
Dies liegt im II. Quadranten, bezogen auf \( \dfrac{\pi}{6} \). Daher gilt \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

Schritt 3: Multiplizieren Sie die Werte.

\[ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]

Herausforderung 3 (Fortgeschrittene Cofunktionen): Verwenden Sie die Additionstheoreme, um die Identität für die Spiegelung an der Grenze zwischen III. und IV. Quadranten zu verifizieren: \[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta \]

Beweis anzeigen

Schritt 1: Erweitern Sie mithilfe der Subtraktionsformel für den Kosinus: \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \).

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \cos\theta + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \sin\theta \]

Schritt 2: Werten Sie die trigonometrischen Werte bei \( \dfrac{3\pi}{2} \) (270 Grad) aus.

Wir wissen, dass am unteren Punkt des Einheitskreises die Koordinaten \( (0, -1) \) sind. Also gilt \( \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \) und \( \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1 \).

Schritt 3: Einsetzen und vereinfachen.

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

Verwandte Themen zur Trigonometrie

Weitere Mathe-Ressourcen