Trigonometrische Identitäten und der Einheitskreis
Fragen mit Lösungen

Wie verwendet man den Einheitskreis, um Eigenschaften und trigonometrische Identitäten der Sinus- und Kosinus-Funktionen zu finden? Fragen zur Trigonometrie der 11. Klasse werden zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.
Ein Kreis hat eine unendliche Anzahl von Symmetrien bezüglich der Linien durch das Zentrum und eine Symmetrie bezüglich seines Zentrums. Hier interessieren uns die Symmetrien bezüglich seines Zentrums, der x-Achse, der y-Achse und der Linie y = x. Es wird gezeigt, wie die Verwendung dieser Symmetrien es uns ermöglicht, mehrere Identitäten in der Trigonometrie zu schreiben.

Identitäten aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises am Ursprung, den x- und y-Achsen


Vier Winkel (θ, π - θ, π + θ und 2π - θ) sind unten in einem Einheitskreis dargestellt. Jedem Winkel entspricht ein Punkt (A, B, C oder D) auf dem Einheitskreis.

Symmetrie im Einheitskreis.


Die vier Winkel haben den gleichen Bezugswinkel, der gleich θ ist. Aufgrund der Symmetrie des Kreises bilden die vier Punkte ein Rechteck ABCD, wie oben gezeigt. Punkte A und B sind Spiegelungen voneinander an der y-Achse. Punkte A und C sind Spiegelungen voneinander am Ursprung des Koordinatensystems. Punkte A und D sind Spiegelungen voneinander an der x-Achse. Gegeben sind die Koordinaten a und b des Punktes A und unter Verwendung der Symmetrien des Kreises lauten die Koordinaten von A, B, C und D:
A: (a , b) , B: (- a , b), C: (- a , - b) und D: (a , - b)
Wir drücken nun die Koordinaten jedes Punktes in Bezug auf den Sinus und Kosinus des entsprechenden Winkels aus, wie folgt.
A: (a , b) = (cos θ , sin θ)
B: (- a , b) = (cos(π - θ) , sin(π - θ))
C: (- a , - b) = (cos(π + θ) , sin(π + θ))
D: (a , - b) = (cos(2π - θ) , sin(2π - θ))

Beispiele von Identitäten

Durch Vergleich der x- und y-Koordinaten von Punkten A und B können wir schreiben
cos(π - θ) = - cos θ
sin(π - θ) = sin θ
Durch Vergleich der x- und y-Koordinaten von Punkten A und C können wir schreiben
cos(π + θ) = - cos θ
sin(π + θ) = - sin θ
Durch Vergleich der x- und y-Koordinaten von Punkten A und D können wir schreiben
cos(2π - θ) = cos θ
sin(2π - θ) = - sin θ

Weitere Identitäten aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises auf der x-Achse (negative Winkel)

Zwei Winkel θ und - θ sind unten in einem Einheitskreis dargestellt, zu dem die Punkte A und D auf dem Einheitskreis gehören.

Symmetrie im Einheitskreis und negative Winkel.


Punkte A und D sind Spiegelungen voneinander an der x-Achse. Gegeben sind die Koordinaten a und b des Punktes A, die Koordinaten von D lauten:
D: (a , - b)
Wir drücken nun die Koordinaten der Punkte A und D in Bezug auf den Sinus und Kosinus des entsprechenden Winkels aus, wie folgt.
A: (a , b) = (cos θ , sin θ)
D: (a , - b) = (cos(- θ) , sin(- θ))
Beispiele von Identitäten, die abgeleitet werden können
cos(- θ) = cos θ
sin( - θ) = - sin θ

Identitäten aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises auf der Linie y = x

Punkte A und B im Einheitskreis unten sind Spiegelungen voneinander an der Linie y = x. Aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises bezüglich der Linie y = x sind die entsprechenden Winkel zu diesen Punkten θ und π/2 - θ, wie unten gezeigt.

Symmetrie im Einheitskreis bezüglich der Linie y = x.


Punkte A und B sind Spiegelungen voneinander an der Linie y = x. Gegeben sind die Koordinaten a und b des Punktes A, die Koordinaten von B lauten:
B: (b , a)
Wir drücken nun die Koordinaten der Punkte A und B in Bezug auf den Sinus und Kosinus des entsprechenden Winkels aus, wie folgt.
A: (a , b) = (cos θ , sin θ)
B: (b , a) = (cos(π/2 - θ) , sin(π/2 - θ))
Beispiele von Identitäten, die abgeleitet werden können
cos(π/2 - θ) = sin θ
sin(π/2 - θ) = cos θ



Fragen mit Lösungen

Verwenden Sie die folgenden allgemeinen Identitäten
1) cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
2) cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
3) sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
4) sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
um die unten aufgeführten Identitäten zu überprüfen.

  1. cos(π - θ) = - cos θ
  2. sin(π - θ) = sin θ
  3. cos(π + θ) = - cos θ
  4. sin(π + θ) = - sin θ
  5. cos(2π - θ) = cos θ
  6. sin(2π - θ) = - sin θ
  7. cos(- θ) = cos θ
  8. sin( - θ) = - sin θ
  9. cos(π/2 - θ) = sin θ
  10. sin(π/2 - θ) = cos θ


Lösungen

  1. Verwenden Sie die allgemeine Identität cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B, um cos(π - θ) wie folgt zu erweitern:
    cos(π - θ) = cos π cos θ + sin π sin θ
    Verwenden Sie cos π = - 1 und sin π = 0, um das obige zu vereinfachen zu
    = - cos θ)

  2. Verwenden Sie die allgemeine Identität sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B, um sin(π - θ) wie folgt zu erweitern:
    sin(π - θ) = sin π cos θ - cos π sin θ
    Verwenden Sie sin π = 0 und cos π = - 1, um das obige zu vereinfachen zu
    = sin θ

  3. Verwenden Sie die allgemeine Identität cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B, um cos(π + θ) wie folgt zu erweitern:
    cos(π + θ) = cos π cos θ - sin π sin θ
    Verwenden Sie cos π = - 1 und sin π = 0, um das obige zu vereinfachen zu
    = - cos θ)

  4. Verwenden Sie die allgemeine Identität sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B, um sin(π + θ) wie folgt zu erweitern:
    sin(π + θ) = sin π cos θ + cos π sin θ
    Verwenden Sie sin π = 0 und cos π = - 1, um das obige zu vereinfachen zu
    = - sin θ

  5. Verwenden Sie die allgemeine Identität cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B, um cos(2π - θ) wie folgt zu erweitern:
    cos(2π - θ) = cos 2π cos θ + sin 2π sin θ
    Verwenden Sie cos 2π = 1 und sin 2π = 0, um das obige zu vereinfachen:
    = cos θ)

  6. Verwenden Sie die allgemeine Identität sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B, um sin(2π - θ) wie folgt zu erweitern:
    sin(2π - θ) = sin 2π cos θ - cos 2π sin θ
    Verwenden Sie sin 2π = 0 und cos 2π = 1, um das obige zu vereinfachen:
    = - sin θ

  7. Wir schreiben zunächst die linke Seite der Identität, um zu überprüfen, ob cos(- θ) = cos θ wie folgt:
    cos(- θ) = cos(0 - θ)
    Verwenden Sie dann die allgemeine Identität cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B, um cos(0 - θ) wie folgt zu erweitern:
    cos(- θ) = cos(0 - θ) = cos 0 cos θ + sin 0 sin θ
    Verwenden Sie cos 0 = 1 und sin 0 = 0, um das obige zu vereinfachen:
    = cos θ)

  8. Wir schreiben zunächst die linke Seite der gegebenen Identität, um zu überprüfen, ob sin( - θ) = - sin θ wie folgt:
    sin( - θ) = sin (0 - θ)
    Verwenden Sie dann die allgemeine Identität sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B, um sin(0 - θ) wie folgt zu erweitern:
    sin( - θ) = sin(0 - θ) = sin 0 cos θ - cos 0 sin θ
    Verwenden Sie sin 0 = 0 und cos 0 = 1, um das obige zu vereinfachen:
    = - sin θ

  9. Verwenden Sie die allgemeine Identität cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B, um cos(π/2 - θ) wie folgt zu erweitern:
    cos(π/2 - θ) = cos π/2 cos θ + sin π/2 sin θ
    Verwenden Sie cos π/2 = 0 und sin π/2 = 1, um das obige zu vereinfachen:
    = sin θ)

  10. Verwenden Sie die allgemeine Identität sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B, um sin(π/2 - θ) wie folgt zu erweitern:
    sin(π/2- θ) = sin π/2 cos θ - cos π/2 sin θ
    Verwenden Sie sin π/2 = 1 und cos π/2 = 0, um das obige zu vereinfachen:
    = cos θ

Weitere Referenzen und Links

Trigonometrische Identitäten
Überprüfung trigonometrischer Identitäten
Fragen zu Einheitskreisen in der Trigonometrie
HTML5-Applet zur Erkundung des Einheitskreises und trigonometrischer Funktionen
Startseite