y = a sin[ b ( x - d) ] + c or y = a cos [ b ( x - d) ] + c
gegeben ihres Graphen.
Finde eine Sinusfunktion für jeden der folgenden Graphen
Frage 1
Lösung zu Frage 1
Die Skalierung entlang der y-Achse beträgt eine Einheit pro große Teilung, daher der maximale Wert von y: ymax = 1 und der minimale Wert von y: ymin = - 7.
Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt π für eine große Teilung und π/5 für eine kleine Teilung.
Die Punkte A und B markieren den Anfang und das Ende einer Periode P, die gleich 5π ist. Diese Punkte sind nützlich, da sie Maximalpunkte mit klaren Koordinaten sind.
Da A und B maximale Punkte sind, ist es einfacher, eine Gleichung für den Graphen als y = a cos[ b(x - d) ] + c zu schreiben, vorausgesetzt, dass es ursprünglich ein cos(x) ist, das mit vertikaler und horizontaler Verschiebung (Translation) und vertikaler und horizontaler Dehnung/Schrumpfung transformiert wird.
Berechnen wir nun a und c.
|a| = (ymax - ymin) = (1 - (-7)) / 2 = 4. Dies gibt zwei mögliche Werte für a: a = 4 oder a = - 4
Der Graph zwischen A und B hat keine Spiegelung im Vergleich zur Periode von cos(x) zwischen 0 und 2π, und wir können daher a = 4 nehmen.
c = (ymax + ymin) = (1 + (-7)) / 2 = - 3
Periode: P = 2π / |b|= 5π
Lösen Sie dies nach |b| auf, um zu erhalten: |b| = 2/5.
Auch hier haben wir zwei mögliche Werte für b: b = 2/5 und b = -2/5. Wir nehmen b = 2/5, um unsere Berechnungen für d einfacher zu machen.
Wir schreiben die Funktion für den Graphen nun wie folgt:
y = 4 cos[ (2/5)(x - d) ] - 3
d gibt die Verschiebung an. Die Verschiebung wird bestimmt, indem man die Graphen von y = 4 cos[ (2/5)(x) ] - 3 (beachten Sie d = 0) und den gegebenen Graphen vergleicht. Wir stellen fest, dass die Verschiebung (x-Koordinate von Punkt A) d = - π/5 vom Graphen ist (eine kleine Teilung nach links). Daher lautet die Gleichung des Graphen:
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: x = -π/5; y bei diesem Wert von x auswerten.
y( - π/5)= 4 cos[ (2/5)( - π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 0 ) ] - 3 = 1, was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Punkt B: x = 4π + 4 π/5 = 24π/5 ( 4 kleine Teilungen nach 4π)
y( 24π/5 )= 4 cos[ (2/5)( 24π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 25π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 5π) ] - 3 = 4 cos[ (2π) ] - 3 = 1
was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Frage 2
Lösung zu Frage 2
Maximalwert von y: ymax = 0,2 und Minimalwert von y: ymin = - 1,4 (eine große Teilung entlang der y-Achse entspricht 1 Einheit. Eine kleine Teilung entspricht 1/5 = 0,2).
Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt π für eine große Teilung und π/5 für eine kleine Teilung.
Die Punkte A und B markieren den Anfang und das Ende einer Periode P, die gleich 4π ist.
Die Koordinaten der Punkte A und B sind: A(π/2 , 0,2 ) , B(9π/2 , 0,2).
Der Graph zwischen A und B kann als der einer cos(x) angenommen werden, der transformiert wurde. Daher lautet eine mögliche Gleichung für den gegebenen Graphen: y = a cos[ b(x - d) ] + c.
Lassen Sie uns a und c berechnen.
|a| = (ymax - ymin) = (0,2 - (-1,4)) / 2 = 0,8. Dies gibt zwei mögliche Werte für a: a = 0,8 oder a = - 0,8
Die Periode zwischen A und B hat keine Spiegelung im Vergleich zur Periode von cos(x) zwischen 0 und 2π, und wir können daher a = 0,8 nehmen.
c = (ymax + ymin) = (0,2 + (-1,4)) / 2 = - 0,6
Periode: P = 2π / |b|= 4π
Lösen Sie dies für |b| auf, um zu erhalten: |b| = 1/2. Auch hier haben wir zwei mögliche Werte für b: b = 1/2 und b = - 1/2. Wir nehmen b = 1/2, um unsere Berechnungen für d einfacher zu machen.
Wir schreiben die Funktion für den Graphen nun wie folgt:
y = 0,8 cos[ (1/2)(x - d) ] - 0,6
d gibt die Verschiebung an. Die Verschiebung wird bestimmt, indem man die Graphen von y = 0,8 cos[ (1/2)(x) ] - 0,6 (beachten Sie d = 0 ) und den gegebenen Graphen vergleicht. Wir stellen fest, dass die Verschiebung (x-Koordinate von Punkt A) d = π/2 vom Graphen ist (eine halbe große Teilung nach rechts). Daher lautet die Gleichung des Graphen:
y = 0,8 cos[ (1/2)(x - π/2) ] - 0,6
Überprüfen der gefundenen Antwort
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: x = π/2; y bei diesem Wert von x auswerten.
y(π/2)= 0,8 cos[ (1/2)(π/2 - π/2) ] - 0,6 = 0,8 cos (0) - 0,6 = 0,2 , was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Punkt B: x = 4π + π/2 = 9π/2 (halb eine große Teilung nach 4π)
y( 9π/2 )= 0,8 cos[ (1/2)(9π/2 - π/2) ] - 0,6 = 0,8 cos (2π) - 0,6 = 0,2
was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Frage 3
Lösung zu Frage 3
Maximalwert von y: ymax = 0 und Minimalwert von y: ymin = - 2 (eine große Teilung entlang der y-Achse entspricht 1 Einheit).
Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt 1 Einheit für eine große Teilung und 1/5 = 0,2 für eine kleine Teilung.
Die Punkte A und B markieren den Start und das Ende einer Periode P, die wie folgt berechnet wird: P = 2,6 - 0,6 = 2.
Die Koordinaten von A und B sind: A(0,6 , 0 ) , B(2,6 , 0).
Der Graph zwischen A und B kann als der von sin(x) angenommen werden, der transformiert wurde. Daher lautet eine mögliche Gleichung für den gegebenen Graphen: y = a sin[ b(x - d) ] + c.
Lassen Sie uns a und c berechnen.
|a| = (ymax - ymin) = (0 - (-2)) / 2 = 1. Dies ergibt zwei mögliche Werte für a: a = 1 oder a = - 1
Die Periode zwischen A und B hat keine Spiegelung im Vergleich zur Periode von sin(x) zwischen 0 und 2π, und wir können daher a = 1 nehmen.
c = (ymax + ymin) = (0 + (-2)) / 2 = - 1
Periode: P = 2π / |b|= 2;
Lösen Sie für |b|, um zu erhalten: |b| = π. Auch hier gibt es zwei mögliche Werte für b: b = π und b = - π. Wir nehmen b = π, um unsere Berechnungen für d einfacher zu machen.
Wir schreiben die Funktion für den Graphen nun wie folgt:
y = sin[ π(x - d) ] - 1
d gibt die Verschiebung an. Die Verschiebung wird durch Vergleich der Graphen von y = sin[ π(x) ] - 1 (beachten Sie d = 0) und dem gegebenen Graphen bestimmt. Wir stellen fest, dass d = 0,6 aus dem Graphen ist; Verschiebung nach rechts. Daher lautet die Gleichung des Graphen:
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: x = 0,6; bewerten Sie y für diesen Wert von x.
y( 0,6)= sin[ π(0,6 - 3/5) ] - 1 = sin[ π(0) ] - 1 = -1 , was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Punkt B: x = 1,6
y( 1,6)= sin[ π(1,6 - 3/5) ] - 1 = sin(π) - 1 = -1 , was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Das Überprüfen der Werte bei A und B reicht nicht aus, da sie dieselben Werte geben würden, wenn die Funktion - sin[ πx - 3π/5) ] - 1 verwendet wurde. Wir müssen ein Maximum oder ein Minimum neben A und B überprüfen. Der erste maximale Punkt nach Punkt A liegt bei x = 1 + (1/2)0,2 = 1,1
y( 1,1)= sin[ π(1,1 - 3/5) ] - 1 = sin (0,5 π) - 1 = 0 , was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Frage 4
Lösung zu Frage 4
Maximalwert von y: ymax = -1 und Minimalwert von y: ymin = - 3 (eine große Teilung entlang der y-Achse entspricht 1 Einheit. Eine kleine Teilung entspricht 1/5 = 0,2). Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt π/5 für eine große Teilung und π/25 für eine kleine Teilung.
Punkte A und B markieren den Start und das Ende einer Periode P, die gleich 8π/5 - 3π/5 = π ist.
Die Koordinaten von A und B sind: A(3π/5 , - 1) , B(8π/5 , - 1).
Die Periode zwischen A und B kann als die eines cos(x) betrachtet werden, die transformiert wurde. Daher lautet eine mögliche Gleichung für den gegebenen Graphen: y = a cos[ b(x - d) ] + c.
Lassen Sie uns a und c berechnen.
|a| = (ymax - ymin) = (-1 - (-3)) / 2 = 1. Dies ergibt zwei mögliche Werte für a: a = 1 oder a = - 1 .
Die Periode zwischen A und B hat keine Spiegelung im Vergleich zur Periode von cos(x) zwischen 0 und 2π, und wir können daher a = 1 nehmen.
c = (ymax + ymin) = (-1 + (-3)) / 2 = - 2
Periode: P = 2π / |b|= π
Lösen Sie für |b|, um zu erhalten: |b| = 2. Zwei mögliche Werte für b: b = 2 und b = - 2. Wir nehmen b = 2, um unsere Berechnungen für d einfacher zu machen.
Wir schreiben die Funktion für den Graphen nun wie folgt:
y = cos[ 2(x - d) ] - 2
Die x-Koordinate von Punkt A gibt die Verschiebung d an, die durch Vergleich der Graphen von y = cos[ 2(x) ] - 2 (beachten Sie d = 0 ) und dem gegebenen Graphen bestimmt wird. Wir stellen fest, dass d = 3π/5 aus dem Graphen ist. Daher lautet die Gleichung des Graphen:
y = cos[ 2(x - 3π/5) ] - 2
Antwort gefunden überprüfen
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: x = 3π/5 bewerten Sie y für diesen Wert von x.
y( 3π/5 )= cos[ 2(3π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos(0) - 2 = - 1 , was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
Punkt B: x = 8π/5
y( 8π/5 )= cos[ 2(8π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos (2π) - 2 = - 1
was dem Wert auf dem Graphen entspricht.
