Übungsaufgaben, die Ihnen helfen, zu lernen, wie man die Gleichung einer Sinusfunktion basierend auf ihrem Graphen bestimmt. Die allgemeinen Formen von Sinusfunktionen sind:
\[ y = a \sin[ b ( x - d) ] + c \quad \text{oder} \quad y = a \cos[ b ( x - d) ] + c \]
Verwenden Sie diese Formeln, um Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikale Verschiebung aus dem Graphen der Sinus- oder Kosinusfunktion zu ermitteln.
Die Skalierung entlang der y-Achse beträgt eine Einheit für eine große Teilung, daher ist der Maximalwert von y: \( y_{\text{max}} = 1 \) und der Minimalwert von y: \( y_{\text{min}} = -7 \).
Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt \( \pi \) für eine große Teilung und \( \dfrac{\pi}{5} \) für eine kleine Teilung.
Die Punkte A und B markieren den Beginn und das Ende einer Periode \( P \), die gleich \( 5\pi \) ist. Diese Punkte sind nützlich, da sie Maximalpunkte mit klaren Koordinaten sind.
Da A und B Maximalpunkte sind, ist es einfacher, eine Gleichung für den Graphen zu schreiben als \[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \] unter der Annahme, dass es ursprünglich \( \cos(x) \) ist, das bei \( x = 0 \) mit einem Maximum beginnt und durch vertikale und horizontale Verschiebung (Translation) sowie vertikale und horizontale Streckung/Stauchung transformiert wird.
Berechnen wir \( a \) und \( c \).
\[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \]
was zwei mögliche Werte für \( a \) ergibt: \( a = 4 \) oder \( a = -4 \).
Der Graph zwischen A und B weist im Vergleich zur Periode von \( \cos(x) \) zwischen \( 0 \) und \( 2\pi \) keine Spiegelung auf, daher können wir \( a = 4 \) annehmen.
\[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \]
\[ \text{Periode: } P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \]
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( |b| \) auf, um zu erhalten: \[ |b| = \dfrac{2}{5} \]
Auch hier haben wir zwei mögliche Werte für \( b \): \( b = \dfrac{2}{5} \) und \( b = -\dfrac{2}{5} \). Wir nehmen \( b = \dfrac{2}{5} \), um unsere Berechnungen für \( d \) zu vereinfachen.
Wir schreiben nun die Funktion für den Graphen wie folgt: \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \]
\( d \) gibt die Verschiebung an. Die Verschiebung wird durch den Vergleich der Graphen von
\[ y = 4 \cos\left( \dfrac{2}{5}x \right) - 3 \quad \text{(beachten Sie \( d = 0 \))} \] und des gegebenen Graphen bestimmt. Wir stellen fest, dass die Verschiebung (x-Koordinate von Punkt A) \( d = -\dfrac{\pi}{5} \) aus dem Graphen beträgt (eine kleine Teilung nach links). Daher lautet die Gleichung des Graphen:
\[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 \]
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: \( x = -\dfrac{\pi}{5} \); berechnen Sie \( y \) bei diesem Wert von \( x \).
\[ y\left(-\dfrac{\pi}{5}\right) = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5} \left( -\dfrac{\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 = 4 \cos(0) - 3 = 1 \] was dem Wert im Graphen entspricht.
Punkt B: \( x = 4\pi + \dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{24\pi}{5} \) (4 kleine Teilungen nach \( 4\pi \))
\[ y\left( \dfrac{24\pi}{5} \right) = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5} \left( \dfrac{24\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 = 4 \cos\left( \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{25\pi}{5} \right) - 3 = 4 \cos(2\pi) - 3 = 1 \] was dem Wert im Graphen entspricht.
Maximalwert von \( y \): \( y_{\text{max}} = 0.2 \) und der Minimalwert von \( y \): \( y_{\text{min}} = -1.4 \) (eine große Teilung entlang der \( y \)-Achse entspricht 1 Einheit. Eine kleine Teilung ist \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \)).
Die Skalierung entlang der \( x \)-Achse beträgt \( \pi \) für eine große Teilung und \( \dfrac{\pi}{5} \) für eine kleine Teilung.
Die Punkte A und B markieren den Beginn und das Ende einer Periode \( P \), die gleich \( 4\pi \) ist.
Die Koordinaten der Punkte A und B sind: \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \), \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \).
Es kann angenommen werden, dass der Graph zwischen A und B der eines transformierten \( \cos(x) \) ist. Daher ist eine mögliche Gleichung für den gegebenen Graphen:
\[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \]
Berechnen wir \( a \) und \( c \).
\[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \]
Dies ergibt zwei mögliche Werte für \( a \): \( a = 0.8 \) oder \( a = -0.8 \)
Die Periode zwischen A und B weist im Vergleich zur Periode von \( \cos(x) \) zwischen \( 0 \) und \( 2\pi \) keine Spiegelung auf, daher können wir \( a = 0.8 \) annehmen.
\[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \]
Periode: \( P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \)
Lösen Sie nach \( |b| \) auf, um zu erhalten: \( |b| = \dfrac{1}{2} \). Auch hier haben wir zwei mögliche Werte für \( b \): \( b = \dfrac{1}{2} \) oder \( b = -\dfrac{1}{2} \).
Wir nehmen \( b = \dfrac{1}{2} \), um unsere Berechnungen für \( d \) zu vereinfachen.
Wir schreiben nun die Funktion für den Graphen wie folgt:
\[ y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}(x - d) \right] - 0.6 \]
\( d \) gibt die Verschiebung an. Die Verschiebung wird durch den Vergleich der Graphen von \( y = 0.8 \cos\left( \dfrac{1}{2}x \right) - 0.6 \) (beachten Sie \( d = 0 \)) und des gegebenen Graphen bestimmt. Wir stellen fest, dass die Verschiebung (x-Koordinate von Punkt A) \( d = \dfrac{\pi}{2} \) aus dem Graphen beträgt (eine halbe große Teilung nach rechts). Daher lautet die Gleichung des Graphen:
\[ y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 \]
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: \( x = \dfrac{\pi}{2} \); berechnen Sie \( y \) bei diesem Wert von \( x \):
\[ y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 = 0.8 \cos(0) - 0.6 = 0.2 \]
was dem Wert im Graphen entspricht.
Punkt B: \( x = 4\pi + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{9\pi}{2} \) (eine halbe große Teilung nach \( 4\pi \))
\[ y\left(\dfrac{9\pi}{2}\right) = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 = 0.8 \cos(2\pi) - 0.6 = 0.2 \]
was dem Wert im Graphen entspricht.
Maximalwert von \( y \): \( y_{\text{max}} = 0 \) und der Minimalwert von \( y \): \( y_{\text{min}} = -2 \) (eine große Teilung entlang der y-Achse entspricht 1 Einheit).
Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt 1 Einheit für eine große Teilung und \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \) für eine kleine Teilung.
Die Punkte A und B markieren den Beginn und das Ende einer Periode \( P \), die wie folgt berechnet wird: \( P = 2.6 - 0.6 = 2). Die Koordinaten der Punkte A und B sind: \( A(0.6 , 0) \), \( B(2.6 , 0) \).
Es kann angenommen werden, dass der Graph zwischen A und B der eines transformierten \( \sin(x) \) ist. Daher ist eine mögliche Gleichung für den gegebenen Graphen:
\[ y = a \sin[ b(x - d) ] + c \]
Berechnen wir \( a \) und \( c \).
\[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \]
Dies ergibt zwei mögliche Werte für \( a \): \( a = 1 \) oder \( a = -1 \)
Die Periode zwischen A und B weist im Vergleich zur Periode von \( \sin(x) \) zwischen \( 0 \) und \( 2\pi \) keine Spiegelung auf, daher können wir \( a = 1 \) annehmen.
\[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \]
Periode: \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \]
Lösen Sie nach \( |b| \) auf, um zu erhalten:
\[ |b| = \pi \]
Auch hier haben wir zwei mögliche Werte für \( b \): \( b = \pi \) und \( b = -\pi \). Wir nehmen \( b = \pi \), um unsere Berechnungen für \( d \) zu vereinfachen.
Wir schreiben nun die Funktion für den Graphen wie folgt:
\[ y = \sin[ \pi(x - d) ] - 1 \]
\( d \) gibt die Verschiebung an. Die Verschiebung wird durch den Vergleich der Graphen von \( y = \sin[ \pi x ] - 1 \) (beachten Sie \( d = 0 \)) und des gegebenen Graphen bestimmt. Wir stellen die Verschiebung (x-Koordinate von A) \( d = 0.6 \) aus dem Graphen fest; Verschiebung nach rechts. Daher lautet die Gleichung des Graphen:
\[ y = \sin[ \pi(x - 0.6) ] - 1 = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1 \]
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: \( x = 0.6 \); berechnen Sie \( y \) bei diesem Wert von \( x \).
\[ y(0.6) = \sin\left[ \pi(0.6 - \dfrac{3}{5}) \right] - 1 = \sin(0) - 1 = -1 \]
was dem Wert im Graphen entspricht.
Punkt B: \( x = 2.6 \)
\[ y(2.6) = \sin\left[ \pi(2.6 - \dfrac{3}{5}) \right] - 1 = \sin(\pi \cdot 2) - 1 = -1 \]
was dem Wert im Graphen entspricht.
Die Überprüfung der Werte an den Punkten A und B reicht nicht aus, da sie die gleichen Werte ergeben würden, wenn die Funktion \[ - \sin\left( \pi x - \dfrac{3\pi}{5} \right) - 1 \] verwendet würde. Wir müssen zusätzlich zu A und B ein Maximum oder Minimum überprüfen.
Der erste Maximalpunkt nach Punkt A liegt bei
\[ x = 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 0.2 = 1.1 \]
\[ y(1.1) = \sin\left[ \pi(1.1 - \dfrac{3}{5}) \right] - 1 = \sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 1 = 0 \]
was dem Wert im Graphen entspricht.
Maximalwert von \( y \): \( y_{\text{max}} = -1 \) und der Minimalwert von \( y \): \( y_{\text{min}} = -3 \) (eine große Teilung entlang der y-Achse entspricht 1 Einheit. Eine kleine Teilung ist \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \)). Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt \( \dfrac{\pi}{5} \) für eine große Teilung und \( \dfrac{\pi}{25} \) für eine kleine Teilung.
Die Punkte A und B markieren den Beginn und das Ende einer Periode \( P \), die gleich \[ P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \pi \] ist.
Die Koordinaten der Punkte A und B sind: \( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \), \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \).
Die Periode zwischen A und B kann als die eines transformierten \( \cos(x) \) betrachtet werden. Daher ist eine mögliche Gleichung für den gegebenen Graphen:
\[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \]
Berechnen wir \( a \) und \( c \).
\[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \]
Dies ergibt zwei mögliche Werte für \( a \): \( a = 1 \) oder \( a = -1 \).
Die Periode zwischen A und B weist im Vergleich zur Periode von \( \cos(x) \) zwischen 0 und \( 2\pi \) keine Spiegelung auf, daher können wir \( a = 1 \) annehmen.
\[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \]
\[ \text{Periode: } P = \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \]
Lösen Sie nach \( |b| \) auf, um zu erhalten: \( |b| = 2 \). Zwei mögliche Werte für \( b \): \( b = 2 \) und \( b = -2 \). Wir nehmen \( b = 2 \), um unsere Berechnungen für \( d \) zu vereinfachen.
Wir schreiben nun die Funktion für den Graphen wie folgt:
\[ y = \cos\left[ 2(x - d) \right] - 2 \]
Die x-Koordinate von Punkt A gibt die Verschiebung \( d \) an, die durch den Vergleich der Graphen von \( y = \cos\left[ 2x \right] - 2 \) (beachten Sie \( d = 0 \)) und des gegebenen Graphen bestimmt wird. Wir stellen fest, dass \( d = \dfrac{3\pi}{5} \) aus dem Graphen ist. Daher lautet die Gleichung des Graphen:
\[ y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 \]
Wir überprüfen nun, ob die gefundene Funktion dem gegebenen Graphen entspricht, indem wir einige Punkte überprüfen.
Punkt A: \( x = \dfrac{3\pi}{5} \). Berechnen Sie \( y \) bei diesem Wert von \( x \):
\[ y\left( \dfrac{3\pi}{5} \right) = \cos\left[ 2\left( \dfrac{3\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 = \cos(0) - 2 = -1 \]
Was dem Wert im Graphen entspricht.
Punkt B: \( x = \dfrac{8\pi}{5} \)
\[ y\left( \dfrac{8\pi}{5} \right) = \cos\left[ 2\left( \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 = \cos(2\pi) - 2 = -1 \]
Was dem Wert im Graphen entspricht.