Eine Sinusfunktion anhand ihres Graphen finden

Schritt 1: Vertikale Verschiebung und Amplitude finden
Die Skalierung entlang der y-Achse beträgt eine Einheit pro großem Abschnitt. Der Maximalwert ist \( y_{\text{max}} = 1 \) und der Minimalwert ist \( y_{\text{min}} = -7 \).
Vertikale Verschiebung (\(c\)): \[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \] Amplitude (\(a\)): \[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \] Da wir einen Hochpunkt verfolgen werden, um die Verschiebung zu bestimmen, können wir eine positive Kosinusfunktion verwenden, also ist \( a = 4 \).

Schritt 2: Periode und \(b\) finden
Die Skalierung entlang der x-Achse beträgt \( \pi \) für einen großen Abschnitt und \( \dfrac{\pi}{5} \) für einen kleinen Abschnitt.
Die Punkte A und B sind aufeinanderfolgende Maxima. Der horizontale Abstand zwischen ihnen ist die Periode \( P = 5\pi \).
\[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \implies |b| = \dfrac{2}{5} \]

Schritt 3: Phasenverschiebung (\(d\)) finden
Wir verwenden die Kosinusform: \( y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \).
Die unverschobene Kosinusfunktion hat ein Maximum bei \( x = 0 \). Unser Graph hat ein Maximum im Punkt A, der einen kleinen Abschnitt links von der y-Achse liegt: \( x = -\dfrac{\pi}{5} \). Folglich ist \( d = -\dfrac{\pi}{5} \).

Fazit:
Setzt man alle Werte ein, lautet die Gleichung: \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 \implies \mathbf{y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3} \]

Schritt 1: Vertikale Verschiebung und Amplitude finden
Ein großer Abschnitt auf der y-Achse entspricht 1 Einheit, ein kleiner Abschnitt ist also \( 0.2 \). Aus dem Graphen lässt sich ablesen: \( y_{\text{max}} = 0.2 \) und \( y_{\text{min}} = -1.4 \).
\[ c = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \] \[ |a| = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \] Wir werden eine positive Kosinusfunktion verwenden, also ist \( a = 0.8 \).

Schritt 2: Periode und \(b\) finden
Die x-Achse hat große Abschnitte von \( \pi \). Die Punkte A und B sind aufeinanderfolgende Maxima bei \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \) und \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \).
Die Periode ist der Abstand zwischen A und B: \( P = \dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{8\pi}{2} = 4\pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \implies |b| = \dfrac{1}{2} \]

Schritt 3: Phasenverschiebung (\(d\)) finden
Bei Verwendung der Kosinusfunktion liegt das Maximum im Punkt A vor, wo \( x = \dfrac{\pi}{2} \). Das bedeutet, der Graph ist um \( \dfrac{\pi}{2} \) nach rechts verschoben, also ist \( d = \dfrac{\pi}{2} \).

Fazit:
Die Gleichung für den Graphen lautet: \[ \mathbf{y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6} \]

Schritt 1: Vertikale Verschiebung und Amplitude finden
Aus dem Graphen ergibt sich \( y_{\text{max}} = 0 \) und \( y_{\text{min}} = -2 \).
\[ c = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \] \[ |a| = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \] Die vertikale Mittellinie liegt bei \( y = -1 \).

Schritt 2: Periode und \(b\) finden
Die Punkte A und B markieren einen vollen Wellenzyklus entlang der Mittellinie. Punkt A liegt bei \( x = 0.6 \) und Punkt B bei \( x = 2.6 \).
Periode \( P = 2.6 - 0.6 = 2 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \implies |b| = \pi \]

Schritt 3: Phasenverschiebung (\(d\)) finden
Wir verwenden die Sinusfunktion: \( y = a \sin[ b(x - d) ] + c \).
Die unverschobene Sinusfunktion beginnt an ihrer Mittellinie und verläuft nach oben. Unser Graph tut genau dies im Punkt A, wo \( x = 0.6 \) (oder \( \dfrac{3}{5} \)) ist. Daher beträgt die Verschiebung nach rechts \( d = 0.6 \). Da der Graph von hier aus nach oben verläuft, bleibt \( a \) positiv \( 1 \).

Fazit:
Die Gleichung des Graphen lautet: \[ \mathbf{y = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1} \]

Schritt 1: Vertikale Verschiebung und Amplitude finden
Auf der y-Achse ist \( y_{\text{max}} = -1 \) und \( y_{\text{min}} = -3 \).
\[ c = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \] \[ |a| = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \] Bei Verwendung einer positiven Kosinusfunktion ist \( a = 1 \).

Schritt 2: Periode und \(b\) finden
Die Punkte A und B sind aufeinanderfolgende Maxima bei \( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \) und \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \).
Periode \( P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \implies |b| = 2 \]

Schritt 3: Phasenverschiebung (\(d\)) finden
Das Maximum tritt im Punkt A auf, wo \( x = \dfrac{3\pi}{5} \) ist. Dies ist unsere horizontale Verschiebung nach rechts, also ist \( d = \dfrac{3\pi}{5} \).

Fazit:
Die Gleichung des Graphen lautet: \[ \mathbf{y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2} \]

Schritt 1: Amplitude und vertikale Verschiebung finden
Das Maximum ist \( 1 \) und das Minimum ist \( -5 \).
\[ c = \dfrac{1 + (-5)}{2} = -2 \]
Die Standardamplitude ist \( \dfrac{1 - (-5)}{2} = 3 \). Da die Aufgabe \( a < 0 \) vorgibt, müssen wir eine gespiegelte Kosinuskurve verwenden, also ist \( a = -3 \).

Schritt 2: Periode und \( b \) finden
Der horizontale Abstand zwischen einem Minimum und dem *direkt darauf folgenden* Maximum entspricht genau einer halben Periode.
Halbe Periode = \( 4 - 0 = 4 \). Daher ist die volle Periode \( P = 8 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 8 \implies b = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \]

Schritt 3: Phasenverschiebung finden
Eine standardmäßige negative Kosinuskurve \( (- \cos) \) beginnt an ihrem Minimum auf der y-Achse (wo \( x=0 \)). Da das Minimum unseres Graphen ebenfalls bei \( x = 0 \) liegt, ist keine horizontale Phasenverschiebung erforderlich. Folglich ist \( d = 0 \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = -3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) - 2} \]

Schritt 1: Amplitude und vertikale Verschiebung finden
Max \( = 24 \), Min \( = 18 \).
Vertikale Verschiebung (Durchschnittstemperatur): \( c = \dfrac{24 + 18}{2} = 21 \)
Amplitude: \( a = \dfrac{24 - 18}{2} = 3 \)

Schritt 2: Periode und \( b \) finden
Die Zeit zwischen dem Minimum (\( t=2 \)) und dem Maximum (\( t=14 \)) beträgt 12 Stunden. Dies entspricht einem halben Zyklus.
Periode \( P = 24 \) Stunden.
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 24 \implies b = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12} \]

Schritt 3: Phasenverschiebung für Sinus finden
Eine positive Sinusfunktion beginnt an ihrer Mittellinie (\( y=21 \)) und verläuft *nach oben*. Wir müssen die Zeit \( t \) finden, zu der dies geschieht. Der mittlere Punkt auf dem Weg nach oben liegt genau in der Mitte zwischen dem Minimum und dem Maximum.
Zeitlicher Mittelpunkt: \( t = \dfrac{2 + 14}{2} = 8 \) (was 8:00 Uhr morgens entspricht).
Daher beginnt die Sinuswelle ihren Zyklus bei \( t = 8 \), was bedeutet, dass die Verschiebung \( d = 8 \) ist.

Fazit:
\[ \mathbf{T(t) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{12}(t - 8)\right) + 21} \]

Schritt 1: Punkt einsetzen
Setzen Sie \( x = \dfrac{\pi}{9} \) und \( y = 6.5 \) in die Gleichung ein:
\[ 6.5 = 5\sin\left(3\left(\dfrac{\pi}{9}\right) - C\right) + 4 \]

Schritt 2: Sinusterm isolieren
Subtrahieren Sie 4 auf beiden Seiten:
\[ 2.5 = 5\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]
Teilen Sie durch 5:
\[ 0.5 = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]

Schritt 3: Trigonometrische Gleichung lösen
Wir wissen, dass die Sinusfunktion bei Winkeln wie \( \dfrac{\pi}{6} \) und \( \dfrac{5\pi}{6} \) den Wert \( 0.5 \) annimmt. Setzen wir den inneren Ausdruck gleich diesen Hauptwerten.

Fall 1:
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} \implies \mathbf{C = \dfrac{\pi}{6}} \]

Fall 2:
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{5\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{5\pi}{6} \implies C = -\dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Da die Aufgabe nach dem *kleinsten positiven* Wert fragt, wählen wir das Ergebnis aus Fall 1.

Fazit:
Der kleinste positive Wert ist \( C = \dfrac{\pi}{6} \).